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Tutorial Week 5

Math 5965 Discrete Time Financial Modelling

T1 2023

1.  (Binomial one period model).  Given the inital stock price S0, assume that at time k = 1, the stock price S1 can be either uS0 or dS0 . Further that the simple interest is r such that the bond (or the bank account) B becomes B0 (1+r) at time k = 1. Assume B0  = 1.

(a) Asssume d < 1 + r < u. Show that the fair price of European call option with maturity at time k = 1 and strike (or exercise price) K is

 [  (uS0 − K)+ +  (dS0 − K)+]

by constructing a replicating portfolio.

(b) Contruct a replicating portfolio for a European put option written on the stock S with strike price K and expiration date k  =  1.  Find the fair price of the European put option through a replicating portfolio.

(c) Let  be the risk-neutral probability in state uS0 . Find the unique risk-neutral probability  for the discounted stock price S ∗ = S/B, and compute the fair prices of both options using the risk-neutral formula.

(d) What happens if we drop the assumption the d < 1 + r < u?

2. Let Ct be the value of an American call option at time t on a non-dividend paying stock with strike price K and maturity T. If the risk free interest rate is r > 0 prove that

Ct  ≥ St − Ke−r(T−t)  > St − K,

and deduce that it is never optimal to exercise this option prior to the maturity time

.

3. Let Ct be the value of an American call option at time t on a non-dividend paying stock with strike K and maturity T and let Pt be the value of an American put option on the same stock with the strike price and maturity. By comparing the value of two suitable portfolios, show that

Ct + K ≥ Pt + St .

Using put-call parity for European options and the results of above question, show that

Pt  ≥ Ct + K e−r(T−t) − St .

Combine these results to see that, if r > 0 and t < T,

St − K ≤ Ct − Pt  < St − Ke−r(T−t)

and deduce that if interest rates are zero, there is no advantage to early exercise of the put.