Instructions to Students

Writing

·  This assignment is worth 7% of your total mark.

· You may choose to either typeset your assignment in LATEX, or handwrite and scan it to produce an electronic version.

·  You may use R for this assignment, including the lm function unless otherwise specified.

If you do, include your R commands and output.

· Write your answers on A4 paper.   Page 1 should only have your student number, the subject code and the subject name. Write on one side of each sheet only. Each question should be on a new page. The question number must be written at the top of each page.

Scanning and Submitting

·  Put the pages in question order and all the same way up. Use a scanning app to scan all

pages to PDF. Scan directly from above. Crop pages to A4.

·  Submit your scanned assignment as a single PDF file and carefully review the submission

in Gradescope. Scan again and resubmit if necessary.

32              84.9           10           37.9

19.5            306.6           9           42.2

13.3            562.0           5           47.3

13.3            562.0           5           43.1

5              390.6           5           54.8

7.1             2175.0          3           47.1

34.5            623.5            7           40.3

For this question, you may not use the lm function in R.

(a) Fit a linear model to the data and estimate the parameters and error variance. (b)  Calculate 95% confidence intervals for the parameters.

(c)  Calculate a 90% prediction interval for the price per square metre of a 5 year old apartment that is 100 meters away from the nearest train station and has 6 convenience stores nearby.

(d)  Test the hypothesis that the price per square metre falls by $100 for every year that the apartment ages, at the 5% significance level.

(e)  Test for model relevance using a corrected sum of squares.

Question 3 (5 marks)

Show that for a full rank linear model with p parameters, the Akaike’s information criterion, defined as -2 log(Likelihood) + 2p, can be written as

n log ╱、 + 2p + const.

Question 4 (12 marks)

In this question, we study a dataset of 50 US states. This dataset contains the variables:

· Population: population estimate as of July 1, 1975

·  Income: per capita income (1974)

·  Illiteracy: illiteracy (1970, percent of population)

· Life .Exp: life expectancy in years (1969–71)

· Murder: murder and non-negligent manslaughter rate per 100,000 population (1976) · HS .Grad: percentage of high-school graduates (1970)

· Frost:  mean number of days with minimum temperature below freezing (1931– 1960) in capital or large city

· Area: land area in square miles

The dataset is distributed with R. Open it with the following commands:

>  data(state)

>  statedata  <-  data .frame(state .x77,  row .names=state .abb,  check .names=TRUE)

We wish to use a linear model to model the murder rate (Murder) in terms of the other variables.

(a)  Plot the data and comment. Should we consider any variable transformations?

(b)  Perform model selection using forward selection, using all variable transformations that may be relevant.

(c)  Starting from the full model, perform model selection using stepwise selection with the AIC.

(d) Write down your final fitted model (including any variable transformations used). (e)  Produce diagnostic plots for your final model and comment.

Question 5 (8 marks)

For ridge regression, we choose parameter estimators b which minimise

n                    k

ei(2) + λ      bj(2) ,

where λ is a constant

i=1

penalty parameter.

j=0