Throughout this examination Wt  or W is a standard Brownian motion:

Exam Instructions:

● This assessment consists of four questions. You are required to answer all questions.

● The questions are equally weighted.

● Complete mathematical steps must be presented to qualify for full credit.

Examiners attach great importance to legibility, accuracy and clar- ity of solutions.

● All questions should be neatly/clearly hand written and converted

to pdf as a single document. Any other format will not be accepted.

1. This question is on volatility

a.  [5 Marks] The stock price process St ; t 2 0 given by a GBM is dSt  = μSt dt + gSt dWt :

Use this to calculate the mean and variance of the logarithmic

return log ╱ 、.

b.  [13 Marks] Consider a two-factor model comprising a SDE for the stock S and SDE for volatility g; respectively

dS   =   μSdt + gSdW1 ;

dg   =  p(g;t)dt + q(g;t)dW2 :

Here both drift p(g;t) and di§usion q(g;t) (volatility of the volatil- ity) are arbitrary functions.  The two increments dW1  and dW2 have a constant correlation of p;

3[dW1 dW2] = pdt:

Consider setting up a delta-hedged portfolio

Ⅱ = V (S;g;t) 一 AS 一 A1 V1 (S;g;t) :

You are given that volatility is a non-traded asset.   Derive the partial di§erential equation for V (S;g;t):

c.  [7 Marks] Discuss what may happen if the volatility is not treated as a non-traded asset.

2. This question is on stochastic interest rates.

Suppose the spot interest rate r, which is a function of time t; satisÖes the stochastic di§erential equation

dr = u(r;t)dt + w (r;t)dWt :

The bond pricing equation for a security Z = Z (r;t;T)

 + w2   + (u(r;t) 一 λ(r;t)w (r;t))  = rZ;          (2.1)

where T is the maturity of the bond.   You  are  not  required  to derive this equation.

The Vasicek model has risk-adjusted drift given by

u(r;t) 一 λ(r;t)w (r;t) = η 一 ﹔r;

for constant η and ﹔: The volatility is an arbitrary constant.  A zero coupon bond Z (r;t;T) satisÖes (2:1) together with redemption value Z (r;T;T) = 1: Expand Z (r;t;T) for small times t to maturity T; i.e. in powers of (T 一 t)

Z ~ a(r) + b(r)(T 一 t) + c(r)(T 一 t)2 + ::::::;          (2.2)

for the unknown coe¢ cients.   Hint:   start  by  substituting  (2:2) into (2:1) ; then compare coe¢ cients of powers of  (T 一 t) : [17 Marks]

Use the expression (2:2) above that you have evaluated to calculate the Yield to Maturity and show that this is

╱r +2(〇) (T 一 t)(η 一 ﹔r)、:

[8 Marks].

3. This question covers the Önite di§erence method and compu- tational Önance in Excel

a. Write an essay on the use of a backward marching explicit Önite di§erence scheme to solve the Black-Scholes equation for a Eu- ropean put option, where the risk-free interest rate is a variable function of time, and both volatility and dividend yield depend on the stock and time.   Your account should be no more than two sides of A4 and should start from your choice of Taylor series approximations.  Note:  There will be no credit for simply copying from the course slides.  [15 Marks]

b. Your friend has argued that stock price returns have fatter tails than a Gaussian distribution.   Having downloaded to an Excel spreadsheet Vodafone share prices from yahoo!  Önance, you will test this conjecture.   Discuss the method employed to compare the empirical probability density function for Vodafone returns and the Gaussian density.  [10 Marks]