Section A - Answer only ONE question

Question 1 [20 marks]

For each of the following statements, state if they are TRUE or FALSE, fully justifying your answer. Simply answering True or False will be awarded no marks .

a . Consider the market with basis assets whose payoff matrix is

2   1

A =   6    2

4   3

This market is complete .

0

3

1

33

−1 7

b. Consider the static model we have discussed in class . In particular, consider a complete market without redundant assets . In this case, a state price vector certainly exists .

c . A decision involves risk if it leads to consequences that are not precisely predictable, but follow a known probability distribution .

d . According to the consumption CAPM, the more impatient investors are, the higher the state prices are .

Question 2 [20 marks]

A commercial bank wants to sell a new derivative security — a European power call option .   If ST   is the stock price at expiration, the power call option with parameter γ > 0 will pay max {ST(γ)  − K γ , 0} . Suppose that stock returns follow a geometric Brownian motion with annual mean return µ = 6% and annual volatility σ = 20% . The risk-free rate of return is T = 2% per year, the contract expires in one year, and the initial stock price is 10 . You have been hired as an analyst to price this power call option . Proceed in steps:

a . Write down the SDE for the stock price, using B P , the Brownian motion under the objective probability measure .

b. Rewrite the SDE for the stock price, using B Q , the Brownian motion under the risk- neutral measure . State which theorem you are using here .

c . Use Ito’s lemma to find the stochastic differential equation for ln St   under the risk- neutral measure .  Integrate the SDE for ln St  to find the risk- neutral distribution of ln ST  at t = 0 .

d . Explain, in words, Ito’s lemma .

e . Express the price of the derivative (at t = 0) as a risk- neutral expectation .

Section B - Answer ALL questions

Question 1 [20 marks]

Suppose that there are three market scenarios, and there are three basis assets with payoff matrix and price vector as follows:

2 1   0   03           2 1/33

A =  60   3   2 7 , S =  62/5 7

0   2   2                1/3

a . Perform Gaussian elimination (showing all steps) to determine how many redundant asset there are in this market . Is the market complete?

b. Find all state prices which are consistent with the Law of One Price, and based on this finding determine whether there are any arbitrage opportunities .  If there is an arbitrage opportunity, state what type of arbitrage it is .

c . Calculate the risk-free return and the risk- neutral probabilities .

d . A focus asset with payoff  h 1   2   0]\   is introduced .  What are the possible no-arbitrage prices of the focus asset?

Question 2 [20 marks]

a . Assume there are 2 investors (A , B ) and 2 states ( 1 , 2) . Additionally, assume:

–  Initial endowments are:

*  Investor A has 50 units of the Arrow- Debreu (A- D) security for state 1 , and 20 units of the A- D security for state 2 .

*  Investor B has 20 and 30 units of the two A- D securities, respectively.

–  Preferences are as follows:

* For investor A , u (x1(A),x 2(A))  =  (x1(A)) 0 .25  (x2(A)) 0 . 75 , where x 1(A)  and x 2(A)  are the

quantities of A- D security for state 1 and 2 , respectively, that he owns .

* For investor B , u (x1(B) ,x 2(B))  =  (x1(B)) 0 .8  (x2(B)) 0 .2 , where x 1(B)   and x 2(B)   are the

quantities of A- D security for state 1 and 2 , respectively, that he owns .

Draw an Edgeworth box, and show the indifference curves, the initial allocation, and the equilibrium . Intuitively, how would you explain that the two investors move from the initial allocation to this equilibrium?

b. Assume an agent’s utility from consumption in periods 1 and 2 , c1   and c2 respectively,  is given by u (c1 ,c2 )  =  −c1(2)  − c 2(2)  + 10c1  + 10c2 .   If the sum of consumption in the two periods cannot exceed 10 , how much does the agent optimally choose to consume in period 1? Solve analytically, showing steps in detail .