Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT  150C  HW  2

Problem 1. Suppose λ is an eigenvalue of a linear transformation T : V → V .  Show that λk  is an eigenvalue of Tk   (without assuming that T is diagaonlizable) .

For the next two problems, we let V be a finite dimensional complex vector space and let {vi } be a basis of V . Then every element v ∈ V can be written uniquely as a linear combination 对 ai vi . For each 1 ≤ i ≤ n, define a map

αi  : V → C

v = 工 ai vi  '→ ai

i

Problem 2.  Prove that αi  is a linear functional (i. e .,  an element of V*) .

Problem 3. Prove that {αi } is a basis of V* .  (Hint:  you need to show linear independence and spanning.) Problem 4.  Prove  that V ⊂ (V* )*   (without  assuming  that V is finite  dimensional) .  Deduce  that if V is finite dimensional, then V = (V* )* .  (Hint: for the second claim, it is enough to use Problem 3 to argue that dim(V* )*  = dimV .)

Problem 5. Let V and W be two complex vector spaces .  Let Hom(V,W) be the set of linear transformations from V to W .  Define addition and scalar multiplication on Hom(V,W) and show that it is a vector space .

For the next three problems, we let V and W be two finite dimensional vector spaces with bases {vi } and {wj }, respectively.  Let {αi } be the basis of V*  defined in Problem 3.  For any 1 ≤ i ≤ n and 1 ≤ j ≤ m, we define

fij  : V → W

v → αi (v)wj .

Problem 6.  Prove  that fij   is  a  linear transformation.   (Hint:  you need to  show that it preserves  addition and scalar multiplication.)

Problem 7.  Let f : V → W be a linear transformation.  Show that there  exists mn many complex numbers cij  with 1 ≤ i ≤ n and 1 ≤ j ≤ m such that f = 对ij cij fij .

Problem 8.  Prove that V* ⊗W  Hom(V,W) .  (Hint:  let Φ : V* ⊗W → Hom(V,W) be the map defined by

Φ (对i,j cij αi ⊗ wj ) = 对i,j cij fij .  Prove that Φ is  a linear map .  Note that a surjective linear map  between

vector spaces of the same dimension is automatically bijective for dimension reasons .)

Problem 9.  Let V and W be two finite dimensional vector spaces .  Let {vi } and {v} be two  bases of V and let {wj } and {w} be two  bases of W .  Suppose v = 对k aki vk  and w = 对l blj wl  for all i and j .  Find the change of basis matrix relating the  basis {v ⊗ w} to the  basis {vi ⊗ wj } of V ⊗ W .

Problem  10.  Compute  the  character of the 3- dimensional representation  of S3   (the  one  where σ  acts  by σ(ei ) = eσ(i))  by writing down the character value for each conjugate class .