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MATH5175, 2023, Term 1

Assignment 2, 3th April

Due: 17th April

b)  The linear equation (4) is known to be invariant under the Moutard transformation 

ψ → ψ *  = ,    u → u*  = u + 2(ln ϕ)gy ,                              (6)

where ϕ is another solution of (4) and S is defined by (5).  On use of the pair (5), evaluate ψg(*) . Derive the transformation formula for u by evaluating ψg(*)y + u* ψ *  = 0 with u*  a priori unknown but only writing down the terms proportional to S which would occur if you did the complete calculation.

[Note: This is admissible since the validity of the transformation is postulated.] c)  Show that the ansatz

u = u(z),    ψ = e入(g_y)ψˆ(z),    z = x + y                             (7)

reduces the linear equation (4) to the time-independent Schr¨odinger equation, where the arbitrary constant λ2  plays the role of the eigenvalue.

d) If we make the ansatz

ϕ = eu(g_y)(z)                                                   (8)

so that  constitutes a solution of the time-independent Schr¨odinger equation corre- sponding to the eigenvalue µ2  and set

S = e(u+入)(g_y)(z)

then derive the pair of differential equations for  implied by  (5).  Show, without differentiation or integration, that

 = ψˆ2 − 2 ψˆ

µ + λ

is a necessary condition on  . Verify that this is also sufficient. In view of the degrees of freedom considered in part a), what is the general solution of (5) in the special case (7), (8)?

e)  Taking each ansatz in the cases c) and d) and using again

ψ *  = e入(g_y)ψˆ* (z),

show that the invariance (6) reduces to the classical Darboux transformation for the time-independent Schr¨odinger equation (up to an irrelevant constant factor in ψ * ). Here, you are also required to express u*  in terms of  .

3.  Consider the Hamiltonian H : ❘2  × ❘2  → ❘ given by

H(p, q) = p2 + f (q),    q = |q|,                                       (9)

where f is a differentiable function.

a) It is known that a transformation  (p, q) → (P , Q) is canonical if and only if the canonical relations

{Qi , Qk } = 0,    {Pi , Pk } = 0,    {Qi , Pk } = δik

hold, where the Kronecker symbol is defined by δii  = 1 and δik  = 0 for i  k .  Given that

b)  Determine p  in terms of P  and  Q  and formulate the Hamiltonian  H(p, q)  as  a function (P , Q) of the new canonical coordinates.

c)  Find an integral of motion F (P , Q) associated with a cyclic coordinate and explicitly parametrise in terms of Q1  and Q2  the level set

M(,F )  = {(P , Q) : (P , Q) = H0 , F (P , Q) = F0 }

for prescribed values H0  and F0  of the integrals of motion H and F .  Is the Hamil- tonian system integrable? Give reasons for your answer.

d)  Derive the Hamiltonian system in the canonical coordinates (P , Q).  Show that Q1 satisfies the differential equation

Q˙1(2)  = G(Q1 ),    G(Q1 ) = 2H0 − 2f (Q1 ) −

and explicitly state the procedure which determines all canonical variables in terms of quadratures and inversions of functions.

e) If f (Q1 ) is such that there exists another functionally independent integral of motion (P , Q), can the integrals of motion H, F,  be in involution? How can one exploit  in connection with the trajectories of the Hamiltonian system in phase space with coordinates (P , Q)?

f)  Explain why if H is of the form

H(p, q) = H1 (p1 , q1 ) + H2 (p2 , q2 )

then both H1  and H2  are integrals of motion.

g)  This is a bonus question which allows you to make up for marks that you may have lost in the previous questions so that you may still get full marks.

Provide two non-constant functions f (q) for which three functionally independent in- tegrals of motion Fi (p, q) exist. Give reasons for your answer. No explicit calculations are necessary.