Introduction

In completing this assignment, you should get an improved understanding of:

•   How feedback structures can be used to endow a system with specified dynamic properties.

•   The physical interpretation of the Proportional (P) and Derivative (D) terms in a PID controller

•   The effect of zeros on the response of a system.

This assignment is aligned with the work you will complete Practical 3.  The         assignment will develop your understanding of the following learning objectives

•   1.7  Construct transfer functions for linear dynamic systems from (i) differential equations and (ii) reduction of block diagrams.

•   2.1  Understand how feedback is used to influence the behaviour of SISO systems.

•    2.2  Analyse the transient response of SISO linear dynamic systems using the system's poles and zeros.

•   3.4  Design and implement proportional, derivative, and integral compensators (and combinations thereof) for SISO systems.

Important Notes:

1.  Your assignment must electronically readable to allow it to be processed by Turn-it-In. It is recommended that you prepare   your solutions in word or LaTex.

2.  You must submit your assignment by the due date.   Late submissions will not be accepted unless they meet the    requirements for acceptable late submission set down in Section 5.3 of the course profile.

Figure 1

Question 2 (5 marks)

A  proportional-integral-derivative (PID) controller is a form of controller widely used in industrial control systems.  The PID controller computes three quantities from the feedback error which are added together: a ‘P’ component proportional to the error; an ‘I’ component that is proportional to the accumulation of past errors; and a ‘D’ component that is a prediction of future errors based on a rate of change in the error signal. The standard from of the controller is written:

u (t) = K* e (t) + K- . e (t)dt + K0

where u (t) is the output of the controller and e (t) is the error it acts on.

There are two ‘standard’ ways of implementing PID control. Figure 2(a) below shows the implementation of a PID controller to control the position of the mass with the compensator in the forward path. Figure 2(b) shows a variation on the idea where the with a PI compensator in the forward path and the derivative (D) term in the return path.

Develop transfer functions for these two systems.

Figure 2: A mass whose position is controlled by a PID compensator

Question 3 (5 Marks)

If  the   integral  term  K-   is   zero,  the   corresponding   controller   is   known   as   a proportional-derivative    (or    PD)   controller.    By    setting   K-  = 0   and   equating coefficients,  show  that  the  two  PD  controllers  above  have  equivalence  to  the mechanical  systems to the  mechanical  systems shown  in  Figure  1  and  from  this make interpretations of the functions of the P and D terms of a PID controller.

Question 4 (5 Marks)

Develop Simulink  models for both systems in  Figure 2.  Using values m  =  2.8 kg, K9:  = 1,  K*  = 1500, K0  = 50,  K-  = 0 as a starting point, explore how having the derivative  action  in  the  forward  path  affects  the  time  response.  Comment  in particular on how having derivative action in the forward path affects the rise time and the overshoot of the response when a step input is applied.

A  regulator  is  a  class  of control  systems that  aim to  hold the  output value  at  a designated level. The input to a regulator is a set point which changes infrequently. When change occurs,  it takes the form of a step.  PID controllers  used regulate a quantity will typically use the method of Figure 2(b) in preference to that of Figure 2(a).  Why?

Question 5 (5 Marks)

Using your  PID controller as  per  Figure  2(a),  explore the  effect  of  independently varying the parameters from the nominal values given above. Produce three plots showing the  effect  of varying the three  controller  parameters from  the  nominal values: Kp  = 1500, Kd  = 50, Ki  = 0 .  That  is,  the  first  plot  should  show  how  the response changes as Kp  is varied whilst holding Kd  and Ki  constant.  The second plot should show how the response changes as Kd  is varied and the third should show response change for varying Ki .

The Wikipedia page for PID controllers gives the following table indicating the type of that occurs when each parameter is varied.   Using your plots verify this table is correct.

Effects of increasing a parameter independently

Kp

Ki

Kd

Rise time

Decrease

Decrease

Minor

change

Increase Increase

Decrease

Settling

time

Small

change

Increase

Decrease

Steady-state

error

Decrease

Eliminate

No effect in theory

Degrade

Degrade

Improve if Kd

small

.