Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

FINAL ASSIGNMENT  STA453H1,  2023

1 .  For a sample size n = 8 suppose that X1 , ...,X8 IID X ⇠ N(µ,σ2 ) with µ 2R, σ >0 and, as usual, let    8µ = ⌃i(8)=1 Xi and 8σ2 = ⌃i(8)=1 (Xi−X)2 .

a)    For what value of the constant a is the  (squared) distance E(aσ−σ)2  minimized?

b)    For the parameter ✓ = µ/σ and the statistic ✓ = µ/σ determine the constant b such that  Eb✓ =  ✓ as well as the variance    varb✓ .

2.  location-scale uniform:      X1 , . . . ,Xn IID X = a+bZ, Z ⇠ unif[0, 1] , (a,b) 2 R⇥R+

 

a)    Determine  (a,b) = mle(a,b) . X−a1

b)    Letting    U =                  ,  determine the joint distribution of  (a,b,U) as well as the b

individual marginal distributions for each of a, b and U.

c)    Verify that  (a,b) is sufficient for  (a,b) .

d)    Determine the distribution of the pivotal quantity

a − a

b

.

3 .  Suppose that X1 , . . . ,Xn IID X where X ⇠ unif{1, . . . , ✓}, ✓ 2 N. Let T = X(n) = max(X1 , . . . ,Xn) .

a)    Determine the distribution function  (D .F.), F✓(t)  =  P✓(X(n)  < t), t 2 R.

b)    Determine the probability function  (p .f.), p✓(t)  =  P✓(X(n) = t), t 2 R.

c)    Demonstrate that T = X(n)  is sufficient.

i) by explicit computation of the cond .  distn .     ii) by using Neymann’s factorization .

d)    Demonstrate that T = X(n)  is  complete.

e)    Obtain the uniformly minimum variance unbiased estimator  (UMVUE) for ✓ .

4.  exponential family    X✓ ⇠ dP✓ = exp (t\ ✓ − K(✓))dP , ✓ 2 ⇥ ⇢ Rp

w. ⇥  =   { ✓ 2 Rp l Eexp(T\ ✓) < 1   .

Prove

a)     0 2 ⇥

b)    ⇥ is  convex

c)    E✓T = DK(✓),    var✓T = D2 K(✓)

d)    T is sufficient for ✓ 2 ⇥

e)     T is  complete for ✓ 2 ⇥ .

5.  variable carrier model

(Xn,n 2 N)  IID X ⇠ unif(C)    w. C co ⇢(nv)ex Rp , 0 < vol(C) < 1

a)    Prove that at each sample size n, the mle, C = Cn, is the smallest convex set containing the sample points x1 , . . . , xn.

b)    Letting d(s,t) =^⌃1(n)(si−ti)2  denote the usual metric on Rp, for any A ⇢ Rp, define    d(A,t) = infa2A d(a,t)    and verify that  ld(A,t)−d(A,s)l < d(s,t)

c)    Finally, let 6(C,C) = supt2C d(C,t)    and prove that    6(C,C)!(wP)1 0 .