Instructions

This assignment counts for 10% of your final grade. It will be graded over 100 points. You need to submit a Python notebook as well as a PDF with results no later than April 14 at 11:55pm. Submit your work on Zonecours using the Assignments tool.

1    Market Equilibrium (50 pts)

An economy has 5 types of consumers with preferences represented by:

Ui (Xi(c),Yic ) = log Xi(c) + ↵i log Yic ,  i = 1, .., 5

where ↵i  is given for each consumer by (1.3, 1.1, 1.1, 0.6, 0.5). Each consumer has Xi(e)  = Xe /5 of the endowment in X where Xe  = 10.

The production function is given by F(X) = AXβ  where A =  1.75, β = 0.35. The firm produces Y using X, which is sold by the consumers. The firm has no X. Good Y is sold at price pY  = p while good X is sold at price pX  = 1. The firm makes profits ⇧ .  Each consumer receives capital income from having shares of the profits pi  generated by the firm. These shares are given by (for each consumer)

(0.10, 0.10, 0.10, 0.20, 0.50).

(a)    Build a function that returns the income of each consumer for (Xi(e) , pi ⇧) where ⇧ represents the profits from the firm.

(b)    Find the demand function of each consumer as a function of p, income and ↵i . Build a function that returns consumer demands for X and Y.

(c)    Find the demand of the firm for good X and build a function of p,A,β that returns the quantity demanded  (by the firm).   Find and build a function for the quantity produced (Y) and profits ⇧, as a function of p,A,β .

(d)    Find a function that returns the equilibrium price p as a function of characteristics of the five consumers  (↵i , pi ,Xi(e))  and characteristics of the firm (A,β). Find the equilibrium price for the case above.

(e)    Find the income, consumption of each goods X and Y as well as the util- ity levels of each consumer. Is this market equilibrium Pareto optimal?

(f)    The Gini index is a good measure of inequality. Compute the Gini index for consumption of each good and income.  For a given variable y on a population of size n, where y is ranked from the lowest to the highest value, the Gini index is given by

G =  ✓n +1 − 2 ◆

We suggest you build a function that returns the Gini index from data y.  Compute its value for consumption and income in the base scenario above.

2    Sources of Inequality (25 pts)

(a)    Where does inequality in income and consumption come from in this model?

(b)    Quantify (decompose) the effect of these sources of inequality on revenue and consumption (turn off these sources one by one to check how they affect inequality). Use the Gini index as your measure of inequality.

3    Taxation (25 pts)

(a)    Show using your calculations that a 35% on capital income, with lump- sum redistribution across consumers, reduces inequality.