Tasks

1.  Outline: Compare the Euler-Maruyama scheme, Milstein scheme and closed form solution for a Geometric Brownian motion.  As an initial example you may use the following set of sample data

Todayís stock price S0     =   100

Time T   =   1 year

volatility 7   =   20%

constant risk-free interest rate r   =   5%

You may Önd it useful to use seed() in the random number generation.  Comment on your results.

Hence use the expected value of the discounted payo§ under the risk-neutral density Q V (S;t) = e-r(T -t)BQ [fayo/] ;

for the appropriate form of payo§, to consider Asian call and put options. As a guide, include Öxed and áoating strike; discrete and continuous sampling; arithmetic and geometric averaging. Consider using the above data with,

Strike E   =   100

Time to expiry  (T|  t)   =   1 year

Then vary the data to see the a§ect on the option price.  Note:  There is no additional credit for calculating the greeks.

2.  Outline: The model problem is

+ P (x)      + Q(x)y = f (x) ;

(1)

subject to the boundary conditions y (a) = a; and y (b) = g:

Suppose a = x0   < x1   < x2   < ... < xn-1   < xn  = b represents a regular partition of the interval

[a;b] : This means xi  = a + ih; where i = 0; 1; 2;:::;n and ox = b n(|) a : The points

x1  = a + ox; x2  = a + 2ox;:::;xn-1  = a + (n | 1) ox

are called interior mesh points of the interval [a;b] : We can approximate the derivative terms using a Taylor series expansion. Let

yi  = y (xi ) ;  Pi  = P (xi ) ;  Qi  = Q(xi );  fi  = f (xi )

Using numerical approximations for each derivative term in (1) show that this can be expressed as

╱ 1 + Pi 、yi+1 +╱|2 + ox2 Qi、yi + ╱ 1 | Pi 、yi-1  = ox f2i ;   i = 1;:::;n | 1:           (2)

We know the boundary conditions are

yn     =   y (xn ) = y (b) = g:                                                      (4)

Show that (2) ; (3) and (4) can be expressed as a matrix inversion problem A! = b; and give the forms of A; ! and b for an arbitrary value n:

Use the method you have developed above; and n = 10, to solve the following di§erential equation problem

d2y         dy

dx2           dx

The coe¢  cients in (2) must be generated inside your computer program using appropriate control structures. Use any Python linear systems function to solve the resulting linear system and output your results in two columns  (xi ; yi) : Repeat the exercise for n = 50; 100: What do you notice? Plot a graph for varying n.

3. This question is on M。nte Cαrl。integration. Calculate the following

3

i.       x2 dx 1

o

ii.         exp(|x2 ) dx

1       o

iii.                 x4 exp(|x2 =2) dx

Compare your computed solutions to the exact values and show graphically how the error in each case behaves as the random numbers increase.