Note: {Zt} ∼ WN(0,σZ(2)) denotes white noise.

1. Bellow, you are given the following graphs of autocorrelation functions for three separate data sets, each with n observations.  The dotted lines in each graph correspond to 95% confidence intervals.  Determine which of the above data sets exhibit statistically significant autocorrelations.  Explain how you came to this conclusion.

A. I only;   B. II only;   C. III only;   D. I, II and III;   E. The answer is not given by (A), (B), (C), or (D).

2. For each of the two time series models, check stationarity and invertibility. Fully justify your answer.

(2.a) Xt = Zt − Zt − 1 − Zt −2 .

(2.b) Xt = Xt − 1 + Xt −2 + Zt .

3.  (3.a) For a MA(3) process with coefficients θ 1  = 2,θ2  = 0.5, and θ3  = −0.1, (i) write the mathematical equation for MA(3) model with these coefficients, and (ii) calculate the autocorrelation function at lags 1, 2, 3, 4: ρ(1),ρ(2),ρ(3) and ρ(4).

(3.b) For an AR(1) process with coefficient ϕ 1  = −0.5, (i) write the mathematical equation for AR(1)) model with these coefficients, and (ii) calculate the autocorrelation function at lags 1, 2, 3, 4: ρ(1),ρ(2),ρ(3) and ρ(4).

4.  You are given the following process:  Xt  = 3 + Y + Zt, where Y is a mean zero random variable with variance σY(2), independent of the white noise {Zt}. Determine whether the process X is stationary and find its autocovariance and autocorrelation functions.

5. Let Xt = Zt + 2Zt − 1 − 8Zt −2 .

(i) Identify the model as the model as MA(q) or AR(p), specify q or p respectively.

(ii) Is the model stationary and invertible? Explain fully and show calculations where needed.

(Hint:  review 4 from homework 1!)

(iii) Find ρX (2). Use R to simulate 300 values of {Xt} and use your simulated values to plot sample acf. Compare your sample estimate of ρX (2) to its true value found by calculations. Redo this part using 10,000 simulated values of Xt .