1. Vectors.   Let vector a  =  (1; 2) and vector b  =  (1; 0): Plot these vectors on (x1 ;x2 ) space. Calculate vectors c = a + b and d = b 一 a: Plot these vectors on the same diagram.  Are any of the vectors, a;b;c;d orthogonal to each other? Calculate the scalar products of the corresponding vectors to prove your answer.

2. Vectors.  Let vector a = (1; 2; 3) and vector b = (2; 一1; 3): Calculate vectors c = a + b; and d = a 一 b and scalar products of vectors

a · b

a · c

b · c

3. Vectors and matrices.  Consider vector a = (1; 一1) and matrix B =  ┌ 3(2)   1(1) ┐ : Note that a\  = 2━(1)1、: This operation is called t|α}sp#se, the notation is a\ ; (or aT ) turns a string vector into the column vector and a column vector into the string vector. Calculate a · B (this should be a vector of size 1 X 2) and B · a\ (this should be a vector of size 2 X 1).  Calculate scalar products a · a\  (this should be a number) and a\ · a (this should be a 2 X 2 matrix).

4. Di§erentiate the following functions

(a) f (x) = 3x2

(b) f (x) = 北2(3)

(c) f (x) = ae北

(d) f (x) = 1 ━e北 —。

(e) f (x) = aln(x)

(f) f (x) = h(g (x))

(g) f (x;y) = 3x3 + y2

5. Implicit functions 1. Take the budget equation

p1 x1 + p2 x2  = w

Find the slope of the implicit function x1 (x2 ). Show your work.

6.  Optimization 1.  A consumer seeks to maximise her utility by choosing how much of commodities A and B to consume. Let xA and xB denote the quantities demanded, and (pA ;pB ) the prices. Our consumer has utility

u(xA ;xB ) = ln(1 + xA ) + ln(1 + xB );