MATH0031

1.  (a) (i) Boris is a British investor who wants to sell 40 Billion EURGBP in one year’s time. The EURGBP spot rate is 0.85, the EUR interest rate is 0.00% and the GBP interest rate is 0.75%.  Economists estimate that GBP will weaken by 10% within one year. Using covered interest rate arbitrage, calculate the value of the one year forward on EURGBP and determine how much GBP Boris will deliver.

(ii) Suppose the European Central Bank decides to ban short-selling of EUR by British investors from the start of 2021. What effect will this have on the value of the one year forward on EURGBP and what will Boris have to do in order to deliver GBP in one year’s time?

(b) Consider the oil futures market where each contract is for one barrel of oil. The oil is physically delivered to holders of the contract on the expiration date. Suppose the April oil futures contract expires tomorrow and the May oil futures contract expires 30 days later.  The price today for the April contract has turned negative and is trading at -$38 while the price for the May contract is +$22.

Using an arbitrage argument, derive the average storage cost per day for storing a barrel of oil until the May expiration. You may assume interest rates are zero and there are no other costs associated with holding oil.

(c) In a one-period model, the asset S moves up to SU with a risk-neutral proba- bility p or down to S/U with probability 1 - p. Construct a formula for U in terms of p and use this formula to explain why p < 0.5.

(d) For a complete market with no arbitrage opportunities, construct the risk-neutral measure Q using Arrow-Debreu securities.

2. Write an essay to explain the concept of risk-neutrality and how it is used to price financial derivatives. The essay should include:

· A short explanation of risk-neutrality probabilities.

· An example to demonstrate how risk-neutral pricing differs from expectation

pricing for an option.

· Using the binomial model with two time-steps, show how a trader constructs

a hedging portfolio in order to remain risk-neutral.

3.  (a) A one-touch option pays out a fixed amount of currency at expiration if at any time the share price is above a pre-specified value B .  Describe how we may apply dynamic programming to value one-touch options. Use this method to value a one-touch option which pays $100 above B = $11 written on an asset where the asset prices in dollars are given below, the interest rate per period is zero, and no dividends are paid.

(b) A binary call option pays out a fixed amount of currency at expiry only if the share price is above a pre-specified value B at expiration.  Using the above model, compute the value of a binary call option which pays $100 if S(3) > 11.  Explain why the value of the binary call option is different from the one-touch option.

(c) A no-touch option pays out a fixed amount of currency only if the share price never trades above a given value B at any time.

(i) Use an arbitrage argument to value a no-touch option in the above model.

(ii) Write down general formulas governing the relationship between one-touch and no-touch options both in the absence of interest rates and assuming a fixed USD interest rate.

(d) Assuming the interest rate r is positive, prove that you should never exercise early an American call option with no dividend.

4.  (a) Let the process (B(t))t≥0  be a standard Brownian motion.

(i) Show that if B(t) is a Brownian motion and c > 0 is a constant then W (t) = (cB(t/c2 ))t≥0

is also a Brownian motion.

(ii) Assume that an asset price S is given by a Brownian motion.  Argue from the definition why it is not possible to predict future values of the asset based on the past values of S .

(b) Let (B(t))t≥0  be a standard Brownian motion and let (X(t))t≥0  be a process defined by

Xt  = exp(Bt ).

Compute dXt .

(c) W = W (t) is standard Brownian motion.

(i) Find an expression for

T

sin(W (t))dW (t)

0

that does not involve Itˆo integrals.

(ii) Prove from first principles that the Itˆo differential of W (t)2  is

dW (t)2  = 2W (t)dW (t) + dt.

5. Let V (S, t) denote the value at time t ● T of a derivative contract when the price of the underlying asset is S where the asset price process S(t) follows the stochastic equation

dS = µSdt + σSdW

where W  = W (t) is a standard Brownian motion, µ, σ are constants and r is a constant riskless interest rate applicable throughout the life of the option.

(a) Explain why the growth factor µ does not need to be estimated for the Black- Scholes model.

(b) What does the seller of a European call option need to do today to hedge the exposure to the underlying stock? Explain why.

(c) [Refer to the formulae at the start of the exam paper]

Show that d2(2)  = d1(2)  - 2 log(Sert /K).  Hence, or otherwise, show that the delta of a European call option is

∂C

= Φ(d1 ).

(d) (i) Show that the model for stock prices from the above stochastic equation does not allow stock prices to become negative.

(ii) Since some asset classes such as interest rates and commodities can have negative values we propose an alternative model given by the stochastic process:

dS = µdt + σdW

By hedging the delta, construct a partial differential equation that can be used to value derivative contracts in these asset classes.