1. A multi-path fading channel has one reflecting path with voltage gain 0 共 议 想 1 ofthe main path. The relative delay on this path is T seconds and the carrier sees a phase shift of arg(a) which is constant on the second path. The pulse response of such a strictly       band-limited channel is  modelled as

P(O) =〈|((1 + ae_jOT ),           _  共 O 共

|l0,                                elsewhere

where 0 共 a  想 1 is a complex constant, i.e., 议 = 议ejarg (议) .

a) Using Matlab, plot the magnitude of the Fourier transform of sampled pulse response, i.e., 20log10 P(e_jOT ) , with T = 1and a = 0.9.

b) Show that p(t) 2  = 1 + aa * .

c)  Find  the  Fourier  transform  of the  sampled  channel  deterministic  autocorrelation function, Q(e_jOT ).

d) By substituting D = e_jOT , show that

Q(D) = a *D _ 1  + p(t) 2  + aD

p(t) 2                         .

By substituting D = e_jOT , with T = 1 , use MATLAB to plot Q(e_jOT ) for a = 0.5and

a = 0.9

e) Find the zero forcing and the minimum mean square error linear equalisers WZFE (D) and WMMSE -LE (D).

f) By substituting D = e_jOT , with T = 1and assuming SNR MFB  = 10 p(t)  2 , use Matlab to plot WZFE (e_jO ) and WMMSE -LE (e_jO ) for a = 0.5and a = 0.9 .

Hint: Try to plot the corresponding curves in parts (d) and (f) for each value of a on the same axis and discuss.

g) Assuming a = 0.5 , E x = 1andC2  = 0. 1 , find the time-zero coefficient w0 for the MMSE-LE and the ZFE  and compute CM(2)MSE -LE , CZ(2)FE ,yMMSE -LE   and  yZFE .

h) Repeat part (g) for a = 0.9 and discuss the results, comparing parts (g) and (h).