Due 10 AM on March 30.

1. Consider the following generalization of the Diamond-Dybvig model discussed in class.  Suppose that the consumers’ utility is given by

for the parameter η > 1.  This utility function is commonly used in economics and is called CRRA (stands for constant relative risk aversion).  Note that U (c1 , c2 ) is negative (which shouldn’t confuse you) and is increasing in both c1  and c2  (which ultimately the property of the utility function that we want and like). Suppose that l = 0 and 1 < r2  < R. The rest of the model is as in the lecture.

(a) Suppose, as in the lecture, the bank collects money from consumers in the form of deposits and invests i 1(B)   = λc1  in the short-term technology and i2(B)   =  1 - λc1  in the long-term technology. Hence, c2 =1_(ci)入(2)  = 入(入)è l ) . Find c1(*)  that maximizes the consumers’ expected utility, i.e., solves

c 1(1) _j                         (R (1 - λc1 ) / (1 - λ))1_j

è l o「0 \1]    1 - η                                  1 - η                 .

Find corresponding c2(*) .  Hint:  write the first- order condition and solve for the  optimal c 1(*) .  It’s pretty straightforward, just be careful in derivations.

Solution: FOC

λ (c ) (1 - λ) │ 、_j   = 0.

We can re-write the FOC as (c1(*))_j  = (c2(*))_j R .  Simplifying,

R(j _ 1)/j (1 - λc 1(*))

1 - λ           .

hence,

c 1(*) =                 1                

1 - λ + λR(j _ 1)/j .

(b) Prove that 1 < c 1(*)  < c2(*)  < R. Hint:  use the fact that η > 1 and R > 1 .

Solution:  Since R > 1 and -(η - 1)/η < 0,

1

c 1(*) =                                      > 1.

Since R > 1 and (η - 1)/η > 0,

R

c2(*) =                                  < R.

Further, c 1(*) = c2(*)R_ 1/j  < c2(*) .

(c)  Parameter η captures the risk-aversion of consumers with higher η corresponding to a higher degree of risk-aversion.  There is a general consumption-smoothing principle that roughly states that risk-averse consumers want to smoothen their consumption across different states (in this model, “patient” and “impatient” states). For λ = 1/2 and R = 1.5 plot numerically c 1(*)  and c2(*)  for a range of η’s greater than one. Does your plot confirm the consumption-smoothing principle or contradicts it.

Solution:  See the graph.  This graph confirms the general principle.  As consumers become more risk- averse, the difference between consumption in two states declines.

(d)  Find the limits of c 1(*) and c2(*) as η - o. How does your answer relate to the consumption-smoothing principle.

Solution:  We have perfect consumption smoothing:

lim  c 1(*) =  lim  c2(*) =             1           

2.  Consider the following variation of the Diamond-Dybvig model with l = r2  = 1 < R.  The bank’s liabilities consist of a mass γ of consumers’ deposits and a mass 1 - γ of equity capital.  Consumers have CRRA preferences with η = 2:

U èonsum4r (c1 , c2 ) = 

The equity capital is provided by patient equity holders of the bank with utility

U4gu了ty (c1 , c2 ) = c2 .

Equity holders cannot withdraw their funds from the bank at t =  1.   All agents have one unit of

endowment at t = 0 that they contribute to the bank as a deposit or equity capital, respectively. The

bank invests all funds into the long-term technology. A depositor can withdraw c 1(*) = 1_ 乂(c)^c  at t = 1 or c2(*) = 1_乂乂^c  at t = 2. The equity holders get whatever is left over after paying all depositors.

(a)  Let  > λ be the fraction of consumers that “run” on the bank at t = 1.  Compute the payoff of

a patient consumer from withdrawing at t = 1 (as a function of ).  Hint1:  you need to consider separately two cases c 1(*)γ < 1 and c 1(*)γ > 1 . In the former case, the bank always has enough money at t = 1 after liquidating part of its investment to pay all consumers c 1(*), while in the latter case, the bank might not have sufficient funds to cover all running consumers.  Hint2:  Note the difference with the lecture:  there are at most γ mass of consumers who run on the bank,  because 1 - γ  of equity holders cannot withdraw at t = 1 .

Solution:  The bank can liquidate its investment in the LT tech and get 1 .  If all consumers run, then they withdraw c 1(*)γ .  If c 1(*)γ < 1, the bank can cover all withdrawals.  Hence, the payoff from withdrawing equals simply c 1(*)  and is independent of  .

If c 1(*)γ > 1, then the bank can still cover all the withdrawals as long as c 1(*)γ  < 1, or equivalently,  < 1/ (c1(*)γ) .  However,  if  > 1/ (c γ),  consumers  only receive1(*)  1/ ╱γ ← .   Thus,  if the patient consumer withdraws at t = 1, she gets min ) 1/ ╱γ ← , c 1(*)扌 .

(b)  Compute the payoff of a patient consumer from staying put and withdrawing at t  =  2  (as a function of ). Hint1: Note that if a fraction  of consumers “runs” at t = 1, then the total mass of agents who run is γ .  Hint2:  First, compute the amount of investment in the LT technology that remains after paying all consumers who  “run” at t = 1 .   Then,  compute the return on this investment and divide it by the mass of patient consumers who do not run.  If this quantity, call it z, is greater than c2(*), then patient consumers get simply c2(*) .  Otherwise, they get z .

Solution:  The amount of investment in the LT technology that remains after paying all consumers

who  “run” at t = 1  equals max ) 1 - c 1(*)γ , 0 扌,  which returns max ) R ╱ 1 - c γ1(*) ← , 0 扌 at t = 2 . There are  ╱ 1 - ← γ depositors at t = 2 .  Then,

z = max  , 0 )│ .

Let  be the solution to

R ╱ 1 - c 1(*)γ ←        *

╱ 1 - ← γ     = c2 .

More explicitly, using the expressions for c 1(*)  and c2(*)  above,

 =    R - c2(*)γ   

R -         c        

=

=     +

(a) y = 0.95

(b) y = 0.85

Thus, the payoff from “staying put” equals

,(c2(*) ,                                       < ,

(((max { c 1(1)_(_)*cl)}(入])} ) , 0 } ,     >  .

(c)  Consider parameters R = 1.5 and λ = 1/2.  Draw the patient consumer’s payoff as a function of  e  [λ, 1] from “running”  and from “staying put”  for two values of V = 0.95 and V = 0.85. How many stable equilibria are there in each case? Discuss how bank capitalization is helpful in preventing bank runs. Explain the economic mechanism.

Solution:  As can be seen from the figures and using the analysis from the lecture, there are two stable  equilibria in the case V = 0.95 with  = λ  and  = 1 .   There is only a good equilibrium with  = λ in the case V = 0.85 . Hint: For full credit, you need to argue that in each equilibrium, patient consumers have incentives to follow the equilibrium strategy, i. e., running is optimal when we consider an equilibrium with  = 1 and staying is optimal when we consider an equilibrium with  = λ .

This  result  demonstrates  that when  the  capitalization  is  sufficiently high  (V  is  low),  the  “run” equilibrium disappears.  Intuitively, by keeping their money until t = 2 equity holders ensure that even if depositors run at t = 1, the bank will have sufficient funds to repay depositors at t = 2 in full.  This in turn removes their incentives to preemptively run at t = 1 .

(d) What is the minimal capital requirement (that is, the minimal value of 1 - V) that guarantees that no bank run occurs in equilibrium.  Hint:  The previous part should give you a hint.  If it doesn’t, try a grid of V e [0.85, 0.95] and see how the equilibrium changes.

Solution:  It is necessary for the  “run” equilibrium to disappear that the bank doesn’t run out of money at t = 1 when all consumer depositors run, that is, it is necessary that c 1(*)V < 1 .  Notice that when V = 1/c1(*), patient investors get c2(*)  from not running and only c 1(*)  from running.  Thus, in this case, the run equilibrium disappears.  This also corresponds to the lowest 1 - V for which this is the case.

(e)  Consider parameters R = 1.5, λ = 1/2, and V = 0.95.  Suppose there is a risk of a bank run and the bank can raise additional equity from patient investors. How much equity would you raise to prevent the bank run? Would patient investors be willing to invest in the bank’s equity? Would patient investors be willing to invest in the bank’s equity if they do not believe that the bank