Due 7 February before the lecture

1.  Consider the following variation of the problem analyzed in the first tutorial. The investor has mean- variance preferences: U (W) = aE [W] - bV [W]. Suppose that she has access to three assets: diversified portfolio of stocks with return Rs  (stocks), diversified real-estate fund with return Rh  (housing), and risk free bond/borrowing at rate Rf  (risk-free bond). If the investor invests B in risk-free bonds and a fraction x of her risky portfolio in stocks (and the remaining fraction 1 - x in housing), then her future wealth equals W = (I - B)(xRs + (1 - x)Rh ) + BRf .

(a)  Compute the expected value and the variance of W . Hint: Recall that V [αX + βY] = α2V [X] +

β 2V [Y] + 2αβCov(X, Y).

Solution:

E [W] = (I - B)(xE[Rs] + (1 - x)E[Rh]) + BRf ,

V [W] = (I - B)2 (x2V[Rs] + (1 - x)2V[Rh] + 2x(1 - x)Cov[Rs , Rh]).

(b)  Suppose the investor chooses B and x to maximize U (W). Find the first-order conditions for the optimal choices of B and x. Hint:  Specifically, derive U (W) and U (W) and equalize them to zero.

Solution:

U (W) = -a(xE[Rs - Rf ] + (1 - x)E[Rh - Rf ])

∂B

+ 2b(I - B)(x V[R2s] + (1 - x) V[R2h] + 2x(1 - x)Cov[Rs , Rh]) = 0

and

U (W) = a(I - B)(E[Rs] - E[Rh])

∂x

- b(I - B)2 (2xV[Rs] - 2(1 - x)V[Rh] + 2(1 - 2x)Cov[Rs , Rh]) = 0

(c)  For simplicity, suppose that E[Rs] = E[Rh]. Derive the optimal B and x in this case. Hint: solve equations U (W) = 0 and U (W) = 0 in B and x.

Solution: From the second equation, we get

V[Rh] - Cov[Rs , Rh]       

V[Rs] + V[Rh] - 2Cov[Rs , Rh]

Denote ERM  三 E[Rs] = E[Rh]. From the first equation, we get

I - B =

(d)  Calibrate the model.  Specifically, use the paper “The rate of return on everything, 1870-2015”     Jorda et al. (QJE, 2019) to find “reasonable” estimates for Rf , E[Rs], E[Rh], V[Rs], V[Rh], Cov[Rs , Rh] and use them to solve for the optimal x in part (c). Hint: Set E[Rs] and E[Rh] to the same num-

ber to simplify computations. Look at Table II and Figure VIII in the paper (also present in the slides).

Solution:  From the paper, we set Rf  = 1%, E[Rs] = E[Rh] = 1.07, SD[Rs] = 22%, SD[Rh] = 10%, Corr[Rs , Rh] = .2.  Note that your calibration parameters do not need to exactly coincide with the ones I picked, but they should be within 1% as a matter of approximation. Then,

V[Rh] - Cov[Rs , Rh]       

V[Rs] + V[Rh] - 2Cov[Rs , Rh]

0.01 - 0.1 * 0.22 * 0.2

56(+) 0.0484 - 2 * 0.1 * 0.22 * 0.2

= 0.0496

≈ 11.2%

(e)  Using the calibration in part (d), compare the share of income invested in risky assets among investors with and without access to investment in housing. How can you explain this difference? Hint: Compute by how many percent they differ. Observe that if an investor doesn’t have access

to investment in housing, she is forced to choose x = 1.

Solution: With housing:

(I - B)with hnusing  = 2b x2V[Rs] + (1 - x)2V[Rh] + 2x(1 - x)Cov[Rs , Rh] .

Without housing (x = 1):

(I - B)withnut hnusing  = 2b     V[Rs]     .

Taking the ratio of the two:

V[Rs]

x2V[Rs] + (1 - x)2V[Rh] + 2x(1 - x)Cov[Rs , Rh]

0.0484

= 0.1122 * 0.0484 + (1 - 0.112)2 0.01 + 2 * 0.112(1 - 0.112) * 0.1 * 0.22 * 0.2

0.0484

= 0.00937

≈5.17

That is, the share invested in risky assets is more than five times larger with than without housing. The reason is that with access to a new asset class, investors can better diversify the risky part of their portfolio, and so, they can take more risk.

(f)  (Hard and not for credit) Solve parts (d) and (e) without assuming that E[Rs] = E[Rh].

2.  Suppose you want to start a company making high quality climbing equipement.  You can use two other companies X and Y as comparables.  Both companies are imperfect comparables, because they both manufacture and sell themselves their equipments through their own specialized stores.   You estimate that company X’s production constitutes about 40% of its assets, while the rest of assets are in distribution. For company Y, the production is 60% of its assets.