Part I: Criptography

1. Use the Caesar cipher with key equal to 5 to encode (encript) the sentence “I like math” .

2. Use the Caear cipher with key equal to 11 to decode (decript) the sentence “ RCLGTEJ TD YZE L QZCNP ”

3. The Caesar cipher key used to produced the encoded sentence “LIPPS ASVPH” is a value between

1 and 5. Determine the key value that gives a meaningful sentence and provide the sentence as well.

4. Use the Vigener cipher with key “Fabrizio” to encode the message “Fabrizio arrested Fabrizio.”

5. What is the issue with the choice of key  “Fabrizio” for encoding the sentence  “Fabrizio arrested Fabrizio”?

6. The word “food” translates into the Italian word “cibo” . What is the key in the Vigener cipher that will encode the word “food” into “cibo”?

Part II: Dynamical Systems

1. Use Euler’s method with time step ∆t = 0.1 to solve the ODE x\  = x2 + x, for time t ∈ [0, 0.5], and initial value x(0) = 1.

2. Find the equilibrium points of the system of ODEs:

x\  = x2 − y

y\  = y − x4

3. Plot (using for example pplane, see Part III) the vector field ⟨x2  − y,y − x4 ⟩  associated with the previous ODE. Make sure to locate and show the equilibrium points that you found before.

4. Write a system of ODEs whose solution curves form a family of concentric circles.

Part III: Dynamical Systems continued

1. The following is Newton’s second law for the motion of a non linear pendulum  (see here for an explanation):

g

l

Here, l is the length of the pendulum, g is the gravity acceleration (in the Earth) and θ is the angle between the pendulum and the vertical axis.  In this exercise we will plot the phase portrait of the solutions using the software pplane.

An ODE of order two (such as the one studied in this example) can be converted into a system of two ODE of order 1, using a simple substitution: denote θ = x (the position), and x\  = y (the velocity). Then our second order ODE is equivalent to the system

x\  = y

g

l

(a) Use the software pplane (please download it from here) to plot the phase portrait of the solution, that is the family of curves with tangent vector field ⟨y, −  sin(x)⟩ . Plot the portrait obtained with  = 1. Set the range of x and y from −10 to 10 (or a larger range).