Each question should be submitted on Gradescope (www.gradescope.ca) with your handwritten work clearly shown, and it is expected that homework is done individually. Your work should refer to the material learned in this course and the material presented in your previous math courses.

Remember to justify your calculations and conclusions. A poorly justiÖed solution will not receive many marks.  A solution with just a Önal answer and no work shown will receive 0.  Be sure to clearly state your reasoning (ìsince the function satisÖes the conditions of. . . î,  ì. . .which we evaluate using the identity. . . î, etc.).

Q1.  (3 marks) Find the function f (x) if f\\ (x) = -2 + 12x - 12x2  and f (1) = 5;f\ (-1) = 2:

Q2.  (6 marks)

(a) Evaluate the deÖnite integral, ╱3x2 - 4x + 1、dx by calculating it as a limit of a

suitable Riemann sum.

(b) In this question, write the given sum in Sigma notation as the Riemann sum for a b

function and express the limit as a deÖnite integral       f(x)dx:

a

nl  ╱╱  + 1、+ ╱  + 1、+ ╱  + 1、+ ::: + ╱  + 1、、

Then evaluate the integral.

Q3.  (6 marks) Solve the following optimization problems.  Be sure to show your work and to justify any domains of deÖnition for your functions

(a) A rover on Mars has just collected a very interesting soil sample. It will launch a two stage rocket to send the sample to an orbiting satellite for further analysis.  The distance above the surface of Mars that the rocket carrying the sample is, after t hours, is given by f(t) = t3 - 9t2 + 24t kilometers.  The Örst stage of the rocket has enough fuel to burn for exactly 6 hours. The rocketís second stage should be Öred during this 6 hour window when the rocketís height is maximized. When should the second stage be Öred?

(b) A 1 m length of wire is to be cut into two pieces. The Örst piece will be bent to form a circle, while the second piece will be bent to form an equilateral triangle.  Maximize the total area enclosed by these two shapes.

Q4.  (4 marks) A particle moving in a straight line with a velocity (in m/sec) given by v (t) =

t2 - 2t - 3: Determine

(a) the displacement of the particle for 2 < t < 4 seconds;

(b) the distance travelled by the particle for 2 < t < 4 seconds.

Q5.  (4 marks) Suppose we know that F\ (x) = xcot(x) : Simplify

x5 cot ╱x3、dx

by expressing this integral in terms of the function F:

Q6.  (9 marks)

(a) Find the derivative,

    0 x ln ╱ tan(t) - arctan(t)、dt.

(b) Find the derivative,              sin ╱^3t、dt.

(c) Determine the intervals over which the function F(x) = concave down.

x

et3 dt is concave up and

0

Q7.  (9 marks) Each of the following deÖnite integrals can be computed through substitution.

Make sure to clearly state the function you are substituting, and clearly indicate how the

limits of integration of the deÖnite integral change when you perform the substitution.

e sin ╱  ln(x)、

1                 x

ln(7)

(b)            ex^2 + ex dx

ln(2)

二1                1

(c)                                dx