Due Wednesday, April 12, 2023 by 11:50pm on Crowdmark.

1.  Given z = 4 + 3i, find the square root of z in the form rei9  and then in the form u + iv where u, v e R. Show your calculations. Do not use a calculator or computer. For example, you should find θ in the form of the composition of trig and inverse trig functions. Leave it in that form. Do not find its decimal expansion.

2. Assume that f : C → C.

(a) Find the period 2 points of f (z) = z2 - 1 and determine if they are attracting or repelling. (b) Find the fixed points of f (z) = z2 + i and determine if they are attracting or repelling.

3.  Consider the Cantor middle-ninths set, K9  on [0, 1] obtained by first removing the middle ninth (  , ), and then removing the middle-ninth open interval from each of the remaining intervals, repeatedly. Compute the fractal dimension of K9 .

4.  Start with a square.  Break the square into nine equal-sized subsquares.  Then remove the open middle subsquare.  This leaves behind eight equal-sized subsquares.  Then repeat this process: break each subsquare into nine equal-sized subsquares and then remove the open middle sub- square. Continuing this process infinitely often yields the Sierpinski carpet. See Figure 1Compute the fractal dimensions of the set obtained.

Figure 1: The Sierpinski carpet