1.  (25 marks) Suppose force of mortality is given by µy  = a + by + cy2  for all 0 < y < 120 where a, b, and c are constants and c > 0. You are also given that no one can survive to age 120.

(a)  Calculate and simplify the expression for  tpx .

(b) What constraints should be imposed on the values of a, b, and c?

(c) You are given a = 0.002, b=−0.000254.

i. Find the value of c such that e0  = 59.5 using goal seeker in Excel. Describe the steps you took to find the value.

ii. Does there exist a value of c such that e0  = 80 and why?

(d) Let l0  = 100, 000. Using the approximation e(◦)x  ⇡ ex  + 0.5 and Excel to construct a mortality table based on this mortality law using the values of a and b specified in 1c and the value of c determined in 1(c)i.

The constructed mortality table should have columns with heading lx ,    x = 0, 1, 2, . . . , 120,

dx ,px ,qx ,µx ,e(◦)x , Tx ,Lx ,    x = 0, 1, 2, . . . , 119.

Round lx ,Lx  and Tx  to the nearest integer.  Describe how you obtain Tx  and Lx .

(e)  Comment on whether the constructed mortality table is suitable for human mortality.

(f) Based on your constructed Life Table in 1d,

i. compute f50 (1.5) to 4 significant digits, if the uniform distribution of deaths (UDD) assumption applies, where fx (t) is the density of Tx  at time t;

ii. compute  0.5|1.5 q50.5  to 4 significant digits, if CFM assumption ap- plies;

2.  (25 marks) Suppose µy  = m1  for all y < 30 and µy  = m2  for all y > 30. (m1  < m2  are constants).

(a) Determine the distribution function of Tx , the future lifetime of (x). (b)  Calculate and simplify the expression for e(◦)x  and ex .

(c) Let m1  = 0.03 and m2  = 0.04. Compute  10p25 ,e(◦)25  and e25 .

(d) Let Kx  = [Tx]. Find the probability mass function of Kx .

(e) Define y  = P(K0  = y|K0  ≥ y) to be the hazard function of K0  at y for y = 0, 1, 2, . . . . Find y .

3.  (5 marks) You are told that for a fixed x0   >  0 and all t  ≥ 0,  tpx0     = atb e −ct2 −dt, where a,b,c,d are constants. Find all the restrictions on a,b,c,d.

(For instance, a > 2,b < 0, etc.)

4.  (5 marks) Which of the following functions could be the hazard rate µx  of some positive random variable (not necessarily representing human lifetime), for all x larger than some x0  ≥ 0? Justify your answers.

(a)   , if C is a positive constant.

(b)   , if C1 ,C2  are positive constants.