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MFE 1 - Homework 10

The below homework specifications will be enforced.  If the specifications are not respected, points might be deducted, or the homework assignment may not be accepted for grading.

Guidelines for your work

●  Write your name (as on the roster) and NetID on the rst page.

●  If you write on paper, use clean and new sheets of paper and take as much space as necessary.

●  Number your pages in the top-right corner, such as 1/3, 2/3, 3/3.

●  Use a draft and hand in your nal version. Make sure that it _  is clean and legible;

_  has each problem clearly indicated;

_  does not have anything crossed out or contain notes in the margins;

_  has solutions in which all steps are clearly shown and explained, including all steps of the computations; _  has grammatically correct complete sentences, including punctuation and spelling;

_  is written using correct mathematical terminology and notation;

_  has nal answers in exact forms (do not approximate unless otherwise stated).

●  You may consult your classmates or other resources (including Campuswire and office hours) for ideas on the problems; however, the solutions you turn in must be in your own words and must reflect your own understanding. Your solutions and write-ups will be checked for textual similarities. You may not copy from, reword, or paraphrase another student’s work or any other resource material; such conduct will be treated as a violation of academic integrity.  Remember that you will not learn anything by simply copying, rewording or paraphrasing another person’s work.

Guidelines for Gradescope

●  You can either write on blank or lined paper, use a tablet, or type your assignment in LaTeX.

●  Your work should be uploaded as a single PDF le (not as separate photos).

●  If you write down on paper, scan your work using a scanner or an app such as Camscanner.  Make sure that the scans are not blurry and are in portrait mode.

●  When you upload this le, match each exercise with the corresponding pages. 

Exercise I: Prot Analysis (6 points)

Consider the function f (x) = 3 ln (x - 1) - 2x + 7 on the interval (1, o). Do not use graphical justifications in this exercise, but you can use a calculator to approximate values (round to two decimal places).

(a)  Find   lim  f (x) and  lim  f (x).

1                                      z →o

(b)  Find the intervals where f is increasing or decreasing. Show all steps.

(c) Is there a global minimum? A global maximum? If so, what are their coordinates?

(d)  Show that f has exactly two roots. If these roots occur at x = α and x = β, show that 1.21 < α < 1.22 and 5.87 < β < 5.88. Clearly state the result(s) you are using here.1

(e)  Now restrict the function to the interval [2 .5, +o). Show that f has an inverse function, and nd the

domain and range of this inverse function.

(f)  f actually represents the total profit (in millions of Euros) from the production and sale of x thousand

motorcycles. Explain, in words, what the answers for parts (c) and (d) mean in this context. You can also approximate α and β based on the answer in (d) (do not use a calculator to nd α and β exactly).

Exercise II: Maximum Revenue (8 points)

A winery’s yearly subscription to its Golden Membership is priced at $400. Today, it has 1000 subscribers. Market analysis shows that each decrease by $5 per year on this membership generates 20 more subscribers.

(a) What should the Golden Membership subscription price be for the winery to maximize its yearly

revenue? Make sure you show all steps of this optimization task.

(b)  Find the maximum revenue in this case, and the number of yearly subscribers.

(c)  Some more analysis shows that the estimated number of subscribers was too high, and that a more realistic model should be based on 10 more subscribers (and not 20) per $5 decrease in yearly mem- bership price.  Given that no other initial assumptions change, how much should the winery set its subscription at? What is the new maximum revenue?

Exercise III: Minimum Cost (6 points)

Suppose that the hourly cost in USD to drive back and forth between Washington D.C. and Philadelphia (assume 150 miles each way) is given by the function f (s) = 0.03s2 - 2.1s + 55 where s is the vehicle’s speed in mph. Additionally, other costs are set at 50 USD per hour.

(a)  Let x be the number of hours required for the trip. Find x in term of s, and show that the total cost

can be modeled by the function

9s2 - 630s + 31500

s

(b) What is the optimal driving speed to minimize the total cost? And what is this total cost? Make sure

you show all steps.