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MAST90064 Advanced Methods: Diferential Equations

Assignment 1: Due 5pm Monday 17th April 2023

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Make sure to read the question fully. You often do not need to calculate solutions explicitly, you will not get any more marks for calculating the solutions in these cases.

1.  (5 Marks) For −π < x < π , consider the boundary value problem

u\\  + 9u = α cos(3x) + βxsin(5x),

u\ (−π) = 0,  u\ (π) = 0.

Use the Fredholm alternative theorem to determine the parameter values for α and β that yield existence of a solution to this problem. If solutions exist, how many are there?

2.  (25 Marks) Consider the linear second order differential equation:

(x − β)y\\  + βy\  + γ(x − β)3 y = 0,

where β , γ ∈ ℜ.

(a)  Classify all points of the ODE except x = ∞ .

(b)  Classify the point x = ∞ when β = 0.

(c)  What is the leading order term in each of the two series solutions about x = β? Discuss the analyticity of these solutions. For any solutions which are not analytic about x = β , classify the type of singularity at this point. Do not find the full series solutions.

(d)  What is the radius of convergence of the series’ that multiply the leading order terms you found in 2(c). Briefly justify your answer.

(e)     i.  Determine the solution to the ODE when β = −3 that is guaranteed to have a Frobenius series.

ii.  Attempt to find a second Frobenius series when β = −3 about x = −3.  Determine the form of the second solution and define the recursion formula for the coefficients.  You do not need to find an explicit formula for the coefficients.

iii.  Using the insight gained from 2(e)i and ii, what can you say about the ODE when β = −3 and the conditions y(−3) = 0 and y\ (−3) = 1 are imposed?

(f)  Determine the general solution to the ODE using a series expansion around x = 0 when β = 0.

3.  (10 Marks) Consider the eigenvalue problem

y\\  + λx2 y = 0,    1 < x < 2,    y\ (1) = 0, y\ (2) = 0.

(a)  Without performing any calculations, what can you determine about the eigenvalues of this problem?

(b)  Given an arbitrary function f(x), write it as a series of the eigenfunctions (without actually finding the

eigenvalues or eigenfunctions), and determine an expression for the coefficients in terms of integrals.

(c)  Relate this problem to Question 2 and give a brief discussion on how you would find the eigenvalues and eigenfunctions.

4.  (10 Marks) Find the leading order behaviour as x → 0+ of x7 y\\  = y .

You should give the leading order behaviour of both solutions.