1.   Suppose d1 , d2 , d3  and d4  are nonrandomized decision rules with risks as given in the following table:

a)   Find the minimax rule(s) amongst the nonrandomized rules D = {d1 , d2 , d3 , d4 };

b)   Obtain the minimax rule in the set of randomized rules D generated by the set of rules in D . State the minimax risk of this rule.

c)   Find the Bayes rule and the Bayes risk for the prior (  , ) on (θ1 , θ2 ).

d)   Express the randomized decision rule with risk point  (2,5) using the given non-randomized decision rules.

e)   Calculate all priors for which d1  is a Bayes rule.

2.   A decision rule d is called admissible in a class of rules if there is no other decision rule d*  in the class such that R(θ, d* ) < R(θ, d) for all θ e Θ and R(θ, d* ) < R(θ, d) for at least one value of θ e Θ . Let X be uniformly distributed on [0, θ] where θ e (0, o) is an unknown parameter (i.e., Θ = [0, o)). Let the action space be [0, o) and the loss function L(θ, a) = (θ - a)2  where a is the chosen action (the action now is estimation so a = d(X) for given observation X and decision d).  Consider the set of decision rules du (x) = µx, µ > 0. For what value of µ is du  unbiased?  Show that µ = 3/2 is necessary condition for du  to be admissible.

3.   Suppose X1 , X2 , . . . , Xn  have conditional joint density

fx1 ,x2 , . . . ,x石 0Θ(x1 , x2 , . . . , xn |θ) = θ n e_9     i(石)=1 zi , xi  > 0 for i = 1, . . . , n; θ > 0

and a prior density is given by τ (θ) = ke_k9 , θ > 0, where k is a known constant.

i) Calculate the posterior density of Θ given X1  = x1 , X2  = x2 , . . . , Xn  = xn .

ii) Find the Bayesian estimator of θ with respect to squared error loss.

4.   Suppose a single observation x is available from the uniform distribution with a density f (x|θ) =  I(z,l)(θ), θ > 0. The prior on θ is with a density τ (θ) = θ exp(-θ), θ > 0. Find the Bayes estimator of θ:

i) with respect to quadratic loss;

ii) with respect to absolute value loss L(θ, a) = |θ - a|.

iii)(*) with respect to the loss Ln (θ, a) = (θ - a)(η - I(θ - a < 0)) where η e (0, 1) is a fixed weight.

5.   Let X1 , X2 , . . . , Xn   be  a random sample from the normal density with mean  µ  and variance  1. Consider estimating µ with a squared-error loss. Assume that the prior τ (µ) is a normal density with mean µ0  and variance 1. Show that the Bayes estimator of µ is u0 + n1 xi .