1.  Let X = (X1 ,X2 , . . . ,Xn ) be i.i.d. Poisson(θ) random variables with density function

e −θ θx

f(x,θ) =    x!   ,    x = 0, 1, 2, . . . ,    and    θ > 0.

a)  The statistic T(X) = 对 Xi  is complete and sufficient for θ .  Provide justifi- cation for why this statement is true.

b)  Derive the UMVUE of h(θ) = e −kθ  where k = 1, 2, . . . ,n is a known integer. You must justify each step in your answer.  Hint:  Use the interpretation that P(X1  = 0) = e −θ  and therefore P(X1  = 0, . . . ,Xk  = 0) = P(X1  = 0)k  = e −kθ .

c)  Calculate the Cramer-Rao lower bound for the minimal variance of an unbiased estimator of h(θ) = e −kθ .

d)  Show that there does not exist an integer k for which the variance of the UMVUE of h(θ) attains this bound.

e)  Determine the MLE  of h(θ).

f)  Suppose that n = 5, T = 10 and k = 1 compute the numerical values of the UMVUE in part (b) and the MLE in part (e). Comment on these values.

g)  Consider testing H0  : θ ≤ 2 versus H1  : θ > 2 with a 0-1 loss in Bayesian setting with the prior τ(θ) = 4θ2 e −2θ . What is your decision when n = 5 and T = 10. You may use:

\0 2 x12 e −7xdx = 0.00317

Note: The continuous random variable X has a gamma density f with param- eters α > 0 and β > 0 if

f(x;α,β) = xα − 1 e −x/β

and

Γ(α + 1) = αΓ(α) = α!