Note: This is an open-book exam. Please answer all questions. The total mark is 20 and the breakdown is shown in square brackets. The duration of the exam is 1 hour and 10 minutes.

Problem 1.  [13 marks] Consider a simple three time period model for returns Rt ,t = 1, 2, 3 of an asset. Let R0  = 10%, and the returns in later periods follow an AR(1) process

Rt  = ϕRt − 1 + εt

where ϕ = 0.2 and ε 1 ,ε2 ,ε3  are i.i.d. shocks with probability distribution

εt  =

for t = 1, 2, 3. Let Ft  be the information set available at time t. Please answer the following questions.

(i) What is the probability distribution of R1 ?  [1]

(ii) What is the probability distribution of R2 ?  [1]

(iii)  Compute E(R2 ), Var(R2 ), Skew(R2 ) and Kurt(R2 ), the unconditional mean, variance, skewness and kurtosis of R2 .  [2]

(iv)  Explain what mean, variane, skewness and kurtosis tell about the distri- butional properties of a random variable.  [2]

(v)  Compute the conditional mean E1 (R2 ) := E(R2 |F1 ) and conditional vari- ance Var(R2 |F1 ).  [2]

(vi) Verify the law of iterated expectation E(R2 ) = E [E1 (R2 )] using numbers given in this problem.  [2]

(vii)  Derive the one-period ahead return point forecast Rˆt  for t = 1, 2, 3.  [1]

(viii)  Derive the two standard deviation one-period ahead return interval fore- cast for t = 1, 2, 3.  [2]

Problem 2.  [7 marks] Figure 1 presents the sample autocorrelation plot for 1-minute returns on IBM and General Electric for the last 10 trading days of 2012.

(i)  Please interpret Figure 1.  [1]

(ii)  Describe how to conduct a robust test jointly for autocorrelation in returns up to lag  L using  a regression-based  approach.   Be explicit  about the regression model, the null and alternative hypotheses, how to construct the test statistic, and how to make testing decisions.  [3]

(iii)  The table below presents the results from such a test for three choices of L. Interpret these results.  [1]

(iv)  Figure 2 presents the sample “cross correlation” plot for 1-minute returns on IBM and General Electric.  It shows Corr (Rt(IBM),R) for j ranging from −10 to +10. Interpret this figure [1], and propose a regression-based approach to test jointly for the predictability in IBM returns using (lagged) General Electric returns.  [1]

Figure  1:  Sample autocorrelation for  1-minute returns on IBM and General Electric.