INSTRUCTIONS: You will be graded not just on the correctness of your responses, but also on how efficient and precise your reasoning is.  Superfluous sentences will be penalized, and no answer should be more than a couple of sentences long. The onus is on you to demonstrate that your understanding of the material is clear.

DUE DATE: 04/10/2023

Q.1.  (Ambiguity and Trade) People do not participate in the stock market to the extent that standard theory implies.  In this problem you are asked to show that this can be explained by ambiguity aversion. Suppose the state space is U = {s1 < s2 }. There is an asset that pays $1 in state s1  and 0 otherwise. The price of the asset is $b D 0. The agent can choose not to enter the asset market, in which case she pays 0 and gets 0. Alternatively, she can enter the market and buy the asset, in which case she pays price b and the receives the outcome of the asset depending on the state. The final possibility is that she can enter the market and engage in  “short-selling” .  Feel free to read up on this well-known financial strategy used by traders in the stock market, but all you need for this problem is that short-selling entails receiving b and then paying the outcome of the asset depending on the state. Consider an SEU with belief p and a (linear) utility function where u(z) = z for any outcome z.

(a) Compute the SEU for each of the three acts defined above.  Show that, whatever the price b, the agent will want to enter the market.

(b) Suppose now that the agent is a Maxmin EU agent and her set of priors admits two possible priors, p and g, where p(s1 ) = g(s2 ) >  .  That is, s1  has probability    according to p and probability    according to g .  Compute the MEU for each of the acts defined above.   Show that there exists a range of prices for which the agent prefers not to enter the asset market.

Q.2.  (a) (The Hot Hand Effect as Bayesian Inference) [Note:  The problem can be made more  “economic” by assuming we are talking about the perfor- mance over time of a manager who can either be a high or low type, and a CEO who doesnt know the manager’s type but is trying to assess the likelihoods].

Suppose that a person believes that on any given day the universe is feeling either favorable f or unfavorable -f towards her.  If the universe is favorable (resp.  unfavorable) then she believes her outcome on a given task is good g with probability 0,8 (resp. 0,2) and bad b with probability 0,2 (resp. 0,8), and her outcomes across different tasks in the day are independent draws with these probabilities.  (For instance, if she is type f on a given day then she believes she will have good outcomes on two tasks in the day with probability 0 ,8 × 0,8). She assesses ex ante that the probability that the universe is favorable or not is 50-50. She updates her beliefs using Bayes rule.

(i) What is her belief about the outcome on the first task, p(g) us p(b)?

(ii) Does she believe in streaks?  Answer this by determining if a good out- come on a second task is deemed more likely following a good outcome on a first task, that is, determine p(g|g) vs p(b|g).

Q3.  (Confirmation Bias)       Suppose the state space is S = {s1 ; s2 }, where s1 stands for “people think ill of me” and s2 stands for “people think well of me” . Due to a negative way of looking at the world, the agent has beliefs p(s1 ) = 0:8 and p(s2 ) = 0:2.  Suppose his friend is a (partitional) information source who knows what others think of him, that is, she can confirm whether the state is s1  or s2 .

(a) Suppose the friend provides information in the form of the event {s2 }. What is the agent’s Bayesian posterior conditional on {s2 }?

(b) Suppose now that the agent is psychologically motivated to maintain his strong belief in what he already believes. He achieves this by doubting the validity of the information he receives:  he tells himself that his friend surely twists the truth to protect his feelings.   In particular, he believes that if his friend sees s2  then she truthfully reports {s2 } but if she sees s1  then she still reports {s2 }. (i) Show that the agent views his friend as a Blackwell experiment. (ii) What is the agent’s Bayesian posterior when the friend reports the positive news {s2 }?

Q.4.  (Risk and Impatience) It is observed that savings rates in developing countries tend to be lower than saving rates in developed countries.  One ex- planation for this comes from the fact that people in developing countries on average face higher uncertainty in their lives, for instance, due to an underdevel- oped market for unemployment insurance or health insurance. In this problem you are asked to show that the degree of risk one faces reflects in the degree of patience one exhibits in her choices.

Suppose there are only two periods 0 and 1, and a Discounted Utility agent with discount factor 0 <  < 1 and utility index u is given by u(x) = x.  For simplicity, assume that background consumption is 0 in both periods.  Thus, the Discounted Utility from consuming c at time t is DU (c; t) =  t c.

(i) Suppose the agent receives $100 in period 0.  She has a choice of either consuming $100 in period 0, or saving it and consuming $150 (the original $100 plus $50 interest) in period 1.  Show that she would choose to save if and only if  >  .

(ii) Suppose now that she faces some uncertainty with respect to period 1: if she saves the $100, then with probability    she will receive $150 in period 1 and with probability   she will receive 0.  There is no uncertainty in period 0.  Assuming that she evaluates the uncertainty using Expected Utility theory, show that she will not save even if she is perfectly patient,  = 1.

Q.5.  (Sophistication vs Naivete) [This question is for extra credit, and can be handed in after the deadline]

Suppose there are three periods: bedtime, 8am and 9am. The agent has an exam at 9am the next day, and an alarm clock that can be turned off or can be set/reset only for 8am or 9am. The decision tree idescribes the actions available in each period:  At bedtime she can either set the alarm for 8 or 9 or she can choose not to set an alarm. At 8am her possible actions are getting out of bed at 8am, resetting the alarm for 9am, or unplugging the alarm clock.  At 9am her actions are getting out of bed at 9am or to unplug the alarm clock.  [You should draw the decision tree].