2.  The space R3  is endowed with an orthonormal basis  (e~1 , e~2 , e~3 ).  A solid at static equilibrium occupies the domain V consisting of the following set of points, in Cartesian coordinates (x1 ,x2 ,x3 ):

V = { = xi e~i , −a < x1  < a, −b < x2  < b, 0 < x3  < c} .

Consider the stress tensor inside V whose expression is given at point  by the following components:

σ 12  = σ21  = ↵x1(2) + βx1 x2 + V,

σ 13  = σ31  = φx2 ,

σ23  = σ32  = λx1 x3 + µx1 x2 ,

σ33  = Tx1 x3 ,

and

σij  = 0   for  all  other  values  of  (i,j).                           (2)

(i) [5 marks]. What are the physical units of the constant coefficients ↵ , β , V, φ , λ , µ , T?

(ii) [15 marks]. Body forces are neglected. Write the balance equations for the solid in terms of the constant coefficients introduced in the expression of the stress tensor. For what values of these coefficients does σ satisfy the balance equations? How many independent constant parameters are there?

(iii) [20 marks].  Consider the face given by the equation x3  = c.  Describe external forces () at all points on this face for which the stress tensor is statically admissible.