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Questions for MTH118 open-book test

(2:00-3:00 p.m., 13th April 2022)

Instructions:  to answer the questions, only theorems/results appearing in the lecture notes in Differentiation Chapter and, if needed, Continuity Revision Chapter can be quoted without providing a proof.  Any result not appearing in these two chapters, cannot be quoted, and should not be used without providing all the necessary definitions and proofs first.

1.  Decide, with justification, whether the following statements are true or false:

(a)  (25 marks) There exists a nowhere differentiable function  f  : R  → R such that f2  is everywhere differentiable.

(b)  (25 marks) There exists a continuous nowhere differentiable function g : R → R such that g2  is everywhere differentiable.

[Recall that a function is nowhere (resp.  everywhere) differentiable if it is differentiable at no

(resp. all) points of its domain.]                                                                                   [50 marks]

2.   (a)  (25 marks) Prove that for all x e [0, π] we have

sin(x) > x -

6

(b)  (25 marks) Let f : R → R be a twice differentiable function such that f (0) = 1, f\ (0) = 0 and

f\\ (x) + (f (x))3 = 0  for all x e R.

By considering H(x) = (f\ (x))2 +  (f (x))4 , or otherwise, show that

|f (x)| < 1  for all x e R.

[50 marks]