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ECON6001:  Microeconomic Analysis

Part 2:  Classical Demand Theory

1    Marshallian Demand

In the previous part, we discussed an agent whose preferences over consumption bundles can be described by a utility function (under some conditions). This agent would like to choose the most preferable bundle, however, she is bounded by a budget constraint.  Such bundle should have the highest possible utility.  Hence, it brings us to the Utility Maximization Problem (UMP) of the consumer:

max  u(x1 , . . . , xn )

北1 ,...,北n

s.t. p1 x1 + ∙ ∙ ∙ + pnxn  ≤ I .

We are trying to find the highest IC feasible within the budget set.  In many cases it implies the tangency of IC and the budget set.

You should already know from the previous micro classes how to solve the consumer problem and obtain the Marshallian demand x(p, I).  In this part, we will concentrate on the properties of the solution. First of all, the solution should exist.

Proposition: If p >> 0 and u() is continuous, then

1.  the  UMP has a solution;

2.  if u() is strictly quasi- concave, the solution is unique;

3.  if u(∙) is strictly quasi- concave and differentiable,  then the following condition is necessary and sufficient for x>> 0 to solve the  UMP:

= for all i, j = 1, n;

4 .  Walraslaw: if u() is strictly increasing, then px= I;

5.  Homogeneity of degree 0 in (p, I): x(tp, tI) = x(p, I) for any t > 0.

Proof:

1. The budget set is compact if p >> 0, then a solution always exists because any continuous function always reaches its minimum and maximum on a compact set.

2.  Suppose that there are two elements and in x(p, I).  It implies that u() = u() = u. Strict quasi-concavity of u(∙) requires that for any y, z ∈ X and λ ∈ (0, 1):

u(λy + (1 − λ)z) > min(u(y), u(z)).

Hence, u(λ + (1 − λ)) > min(u(), u()) = u⇒ λ + (1 − λ) , .  See Figure 2 for illustration.

In addition, p ≤ I and p ≤ I imply that p(λ + (1 − λ)) ≤ I , so the bundle λ + (1 − λ) is not only better than or , but also it is affordable! Thus, we get a contradiction.

3. The Kuhn-Tucker necessary conditions are also sufficient when the optimized function is strictly quasi-concave and they require that there exists λ ≥ 0 such that

λpi  with equality if xi  > 0.

Hence, if x>> 0, then = λpi  for all i = 1, n.

Figure 2: λ + (1 − λ) ,

4.  Suppose px< I , then due to monotonicity there exist another consumption bundle y such that y 〉xand py < I, hence, contradiction.

5. Homogeneity of degree is straightforward. Note that the budget set is not affected by multi- plication of all prices and income by the same number:

{x ∈ X : tpx ≤ tI} = {x ∈ X : px ≤ I}.

Hence, the UMP is identical in both cases, so the solution will also be the same.

Note that the left side of 3, equals price ratio. "

u(x)

xi

u(x)

xj

is MRS. Hence, we have the regular optimality condition – "MRS

Example: Derive the Marshallian demand for the utility function u(x1 , x2 ) = α ln x1 + (1 − α) ln x2 and check whether the demand is homogenous of degree 0.

First, note that u(∙) is a strictly concave function (ln( ∙) is strictly concave), hence, the optimality condition is also sufficient. In addition, u(∙) is strictly monotone, hence px= I . Then we have the following problem:

max α ln x1 + (1 α) ln x2

s.t. p1 x1 + p2 x2  = I

L = α ln x1 + (1 − α) ln x2 + λ(I − p1 x1  − p2 x2 )

The optimality conditions are

=      − λp1  = 0


=           − λp2  = 0

= (MRS=price ratio)

α

1 α

Now we take into account the budget constraint: p1 x1 + p2 x2  = I , thus,

p2 x2 (1 α)I

1 − α                          p2

αI

p1 x1  = αI x =

Now note that x1 (tp, tI) = = = x1 (p, I) and x2 (tp, tI) = = = x2 (p, I). Hence, the obtained demand is homogenous of degree 0 in (p, I).

2    Indirect Utility

Definition: For each (p, I) >> 0 the value of utility obtained at Marshallian demand xis denoted by v(p, I) = maxB(p,I)u(x) and called indirect utility function .

Example: In the above example, the indirect utility function is

αα (1 α)1αI

p1(α)p2(1)α .

Note: The indirect utility depends on the choice of u() and can be different for the same preferences!

Proposition: Suppose that u(∙) is a continuous and monotone utility function.  The indirect utility function v(p, I) is

1.  homogenous of degree 0 in (p, I);

2.  strictly increasing in income I and non-increasing in prices p;

3.  continuous in p and I;

4 .  quasi- convex in p, i. e., the set {(p, I) : v(p, I) } is convex for any .

Proof:

1. Note that demand x(p, I) is homogenous of degree 0 in (p, I), hence,

v(tp, tI) = u(x(tp, tI)) = u(x(p, I)) = v(p, I).

2.  Suppose that x= x(p, I) and I~ > I , then x∗∗ 〉x, where x∗∗ = x(p, I~): x∗∗ cannot be worse than x since under I~ xis still feasible, and the preferences are monotone, so there exists y 〉xsuch that py < I~. Then x∗∗ 〉x⇒ u(x∗∗ ) > u(x).

3.  Continuity in  (p, I) follows from the fact that v(p, I) = u(x(p, I)), u(∙) is continuous and x(p, I) is generally continuous. We have skipped the conversation about continuity of demand because generally Marshallian demand is correspondence and not a function, hence, it would require to define a broader continuity concept, which we will avoid in this course.

4. We will skip the proof of quasi-convexity, you may find it in MWG Ch.3D.

3    Hicksian Demand

In this section, think about government that would like to provide utility level to a consumer. For example, the government is interested in providing a child with a bundle x0  that satisfies the basic needs. This bundle would deliver utility level = u(x0 ). The policy question would be "what is the minimal expenditure needed to deliver utility level ?" This problem is called Expenditure Minimization Problem (EMP) and can be formulated as

min px

北∈X

s.t. u(x) ≥ .

This problem is dual to the UMP. Intuitively, we fix the IC and would like to find the minimal budget set feasible on this IC. In many cases it is again a search for the tangency between the IC and a budget set.

The solution to the EMP is denoted h(p,) and called Hicksian demand.

Proposition:

Figure 3: EMP

1. x(p, I) = h(p, v(p, I))

2.  h(p, ) = x(p, p * h(p, ))

Proof: The intuition behind the proof follows from the fact that both UMP and EMP result in the identical optimality conditions (check this at home!) and the same level of income/utility fixed by the provided identities.

Proposition:   Suppose  that u(∙)  is  continuous  and monotone  utility function.   If p  >>  0,  the Hicksian demand h(p, ) satisfies the following properties:

1.  Homogeneity of degree 0 in p: h(tp, ) = h(p, ) for any p, and t > 0 .

2.  No excess utility: u(h(p, )) = .

3.  If u(∙) is strictly quasi- concave, then h(p, ) is a singleton.

Proof:

1. Homogeneity of degree 0 in p follows from the fact that the problem

min tpx

北∈X

s.t. u(x) ≥

is identical to

min px

北∈X

s.t. u(x) ≥ .

2. This follows from continuity. Suppose u(h(p, )) > , then by continuity there exists α ∈ (0, 1) such that the bundle x = αh(p, ): u(x) > and px < ph(p, ). Hence, contradiction.

3. This follows from the Kuhn-Tucker theorem for a quasiconcave objective function.

Example:  Derive Hicksian demand for u(x1 , x2 ) = α ln x1 + (1 − α) ln x2  and verify homogeneity of degree 0 with respect to p.

First, note that the utility is continuous and monotone, hence, there will be no excess utility.

min p1 x1 + p2 x2

s.t. α ln x1 + (1 − α) ln x2  =

L = p1 x1 + p2 x2 + λ( − α ln x1 − (1 − α) ln x2 )

L α

L 1 α

= (price ratio = MRS)

α p2

1 − α p1

Now we take into account the utility constraint α ln x1 + (1 − α) ln x2  = , hence,

α ln ( x2 ) + (1 α) ln x2  =

ln x2 + α ln ( ) =

h2  = x2  = exp ( α ln ( )) = e ( )α

h1  = x1  = e ( )1α .

4    Expenditure Function

By analogy with the indirect utility for the UMP, we can define the value function for the EMP.

Definition:  For each p >> 0 the value of the cost obtained at Hicksian demand his denoted by e(p, ) = min:u()=px = phand called expenditure function.

Example: For the above utility, the expenditure function is

e(p, ) = p1 h1 + p2 h2  = e ( )1αp p1(α) 2(1)α + e ( )αp1(α)p2(1)α

= e p1(α)p2(1)α

Proposition: Suppose u(∙) is continuous and monotone.  Then the expenditure function e(p, ) is

1.  homogenous of degree 1 in p, i. e., e(tp, ) = te(p, ) for t > 0;

2.  continuous;

3.  strictly increasing in and non- decreasing in p;

4.  concave in p;

5.  e(p, ) > 0 if > u(0) and e(p, ) = 0 if = u(0);

6.  unbounded above in for any p .

Proof is left as a homework exercise.

5    Relationship between demands, indirect utility and expen- diture function

Envelope theorem1 : Let f(x, α) and g(x, α) be continuously differentiable functions, where x is a vector of choice variable in Rk  and α is a parameter.  Consider the following optimization problem with a given parameter α:

max f(x, α)

s.t. g(x, α) = 0.

Let us define the lagrangian of the above problem as

L(x, λ, α) = f(x, α) + λg(x, α),

the solution x(α) and λ(α), and the value function V (α) = f(x(α), α) .  Then the following holds

V (α) L(x(α), λ (α), α) f(x, α) g(x, α)

∂α ∂α                        ∂α                   ∂α .

Proof:  By differentiating the definition of the value function, we obtain

= x=x(α) + .

(1)

However, note that the FOC suggests that

L f(x, α) g(x, α) f(x, α) g(x, α)

xi xi xi xi xi      .

By substituting this into (1), we get

= λ + .

Now note that the constraint is g(x(α), α) = 0, by differentiating it with respect to the parameter, we get

+ = 0 = .

By plugging it back into (2), the result follows.

We have already established the relationships between Marshallian and Hicksian demands x(p, I) = h(p, v(p, I)) and h(p, ) = x(p, e(p, )). Now we will explore this connection in more detail.

First of all, the above identities imply that v(p, e(p, )) = and e(p, v(p, I)) = I for any fixed prices p.  This means that the indirect utility and the expenditure function are inverses of one another and can be easily obtained from each other.

Example: We derived the indirect utility for the Cobb-Douglas function above

v(p, I) = ln = ln(αα (1 α)1α) + ln I α ln p1 (1 α) ln p2 .

Now we are going to derive the corresponding expenditure function.  To do so, just switch I to e and v to , and derive it from the equation.

= ln(αα (1 α)1α) + ln e α ln p1 (1 α) ln p2

ln e = − ln(αα (1 − α)1α) + α ln p1 + (1 − α) ln p2

e(p, ) = exp ( − ln(αα (1 − α)1α) + α ln p1 + (1 − α) ln p2 ) = e .

Roy’s identity: If v(p, I) is differentiable at (p0 , I0 ), 0 and Marshallian demand x(p0 , I0 ) is unique, then

xi (p0 , I0 ) = .

Proof:  Note that indirect utility is the value function of the UMP, while prices and income are parameters in that problem.  To get the partial derivatives of v(p, I), we will use the Envelope theorem.

v(p, I) ∂(I px)

∂I I

And the result follows.

Roy’s identity allows us to recover the Marshallian demand function from the indirect utility. Example: In the example above, we have derived

v(p, I) = ln = ln(αα (1 α)1α) + ln I α ln p1 (1 α) ln p2 .

We are going to obtain the Marshallian demand by using Roys identity.

v(p, I) α

∂p1                  p1

v(p, I) 1

∂I          I

x1 (p, I) = = .

Check at home that the identity holds for x2 .

Shephards lemma: If e(p, ) is differentiable in p and h(p, ) is unique at (p0 , 0 ), then

e(p, )

pi      .

Proof: Again, we will use the envelope theorem since the expenditure function is the value function for the EMP, while prices are parameters. Hence,

e(p, ) ∂(ph)

∂pi                ∂pi

Similar to the Roy’s identity, the Shephard’s lemma allows recovering Hicksian demand from its value function.

Example: Before we derived the expenditure function for the Cobb-Douglas utility

e(p, ) = e p1(α)p2(1)α

Now we are going to use the Shephard’s lemma to recover Hicksian demand:

h1 (p, ) = = e = e ( )1α .

Slutsky decomposition:

'(p,I)  = '(p,v(p,I)) xj (p, I) '(p,I) .

Proof:  Differentiate the identity hi (p, ) = xi (p, e(p, )) with respect to pj , then

'(p,)  = '(p,e(p,)) + '(p,e(p,)) .

By Shephard’s lemma, = hj (p, ). In addition, take = v(p, I), then hj (p, ) = xj (p, I) and the result follows.

Suppose a consumer faces a price increase of good j . There are two effects that are involved in this change.

1.  Good j became relatively more expensive than before in comparison with other goods.

2. The consumer’s real income has declined, i.e., I does not buy anymore the same level of utility as before.