Total marks: 100                                           Due Date: March 31, 2023 at 16:00 AEST

Note:  This assignment is worth 20% of the final course mark.  Please submit answers via Gradescope on Blackboard, including your name and student number.  Solutions, in- cluding equations, should be typed.  Explain your solutions as if you are trying to teach a peer. Demonstrate your insight and understanding. Answering an entire question with bare equations, lone numbers or without any explanation is not acceptable. Marks may be reduced if an answer is of poor quality, demonstrates little effort or significant misunder- standing.

Questions

Question 1.  Not So Complex Exponentials                   (4 marks)

Consider the following complex exponential signal:

x(t) = 10ej ( t − )

(a) Determine the even and odd components of the signal.             (2 marks)

(b) Is the signal periodic? If periodic, determine the fundamental period and frequency.    (2 marks)

Question 2.  System Classification                                                            (16 marks)

Consider the following systems where x is the input signal and y is the output signal. Determine and justify if the following systems are (i) Linear (ii) Causal (iii) Time invariant, specifying key conditions/assumptions as needed.

(a) y(t) = x2 (t) + 1                                     (4 marks)

(b) y[n] = x[n − 1] + x[n + 1]                       (4 marks)

(c) y(t) =  + t2  · cos(x(t))                         (4 marks)

Now consider the following continuous-time system with input and output specified sepa- rately, where u(t) is the unit step function and 6(t) is the Dirac delta function:

x(t) = u(t) − 3u(t − 1)

y(t) = 56(t) − 156(t − 1) + u(t) − 2e −tu(t) − 3u(t − 1) + 6e −tu(t − 1)

(d) Is this system linear, and why?                                                                     (4 marks)

Question 3.  Signal Transforms                                                                  (16 marks)

Given rect(t) is the unit gate function,

(a) Find the Fourier transform of f(t) = 2rect(t) by integration and determine the total energy in this signal.           (8 marks)

(b) Find the Fourier transform of f(t)cos(ω0t), compare and explain the relationship between the spectrum of f(t) and f(t)cos(ω0t).  What is a typical application for a signal multiplied by a cosine wave?                   (8 marks)

Question 4.  Sampling and Aliasing                                                          (18 marks)

Inspired by an Irish ballad, Mr Crooner plans to quit his job and form the band Me2. He plans to record his songs digitally to compact disc (CD). Assume that the songs have frequencies ranging from 100 Hz-1,250 Hz (i.e. 1.25 kHz).

(a) In this case, what is the Nyquist rate?                                  (2 marks)

(b) Analogue to Digital conversion (sampling) requires a clock signal to be present so the analogue signals can be sampled at those discrete points in time.  What is the period for the clock signal to match the Nyquist rate?              (2 marks)

(c) A CD actually uses 44,100 samples/second. If the samples are quantized into 65,536 levels (L = 65,536), determine the number of binary digits required to encode a 3:24 (3 minute and 24 second) long song?             (6 marks)

(d)  Mr.  Crooner’s agent, Stephen Cacophonous, has no time for so many samples and wants to record songs using 2,200 samples/second instead. What will happen? Will there be aliasing? If so, what frequencies will alias?                    (8 marks)

Question 5.  Nyquist Rate                     (14 marks)

Consider the Fourier spectra of signals g1 (t) and g2 (t) shown in Figure 1.

Question 6.  Sampling and Fourier Series                                               (16 marks)

Consider a real, odd, and periodic signal x(t) with Fourier series representation

x(t) =  (  ) k sin(kπt).

Let xs (t) represent the signal obtained by performing impulse-train sampling on x(t) using a sampling period of Ts  = 0.2.

(a) Does aliasing occur when this impulse-train sampling is performed on x(t) and why? (6 marks)

(b) If the sampled signal, xs (t), is reconstructed by passing it through an ideal low-pass filter with cutoff frequency π/Ts  and pass-band gain Ts , determine the Fourier series representation of the (reconstructed) output signal.                 (10 marks)