Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Linear Algebra - Problem Set 4 - Spring 2023

To upload on  Gradescope  by Friday, March 31st,  11 . 59 pm.

The below homework specifications will be enforced.  If the specifications are not respected, points might be deducted, or the homework assignment may not be accepted for grading.

Guidelines for your work

●  Write your name (as on the roster) and NetID on the rst page.

●  If you write on paper, use clean and new sheets of paper and take as much space as necessary.

●  Number your pages in the top-right corner, such as 1/3, 2/3, 3/3.

●  Use a draft and hand in your nal version. Make sure that it

–  is clean and legible;

–  has each problem clearly indicated;

–  does not have anything crossed out or contain notes in the margins;

–  has solutions in which all steps are clearly shown and explained, including all steps of the computations;

–  has grammatically correct complete sentences, including punctuation and spelling;

–  is written using correct mathematical terminology and notation;

–  has nal answers in exact forms (do not approximate unless otherwise stated).

●  You may consult your classmates or other resources (including Campuswire and office hours) for ideas on the problems; however, the solutions you turn in must be in your own words and must reflect your own understanding. Your solutions and write-ups will be checked for textual similarities. You may not copy from, reword, or paraphrase another student’s work or any other resource material; such conduct will be treated as a violation of academic integrity.  Remember that you will not learn anything by simply copying, rewording or paraphrasing another person’s work.

Guidelines for Gradescope

●  You can either write on blank or lined paper, use a tablet, or type your assignment in LaTeX.

●  Your work should be uploaded as a single PDF le (not as separate photos).

●  If you write down on paper, scan your work using a scanner or an app such as Camscanner.  Make sure that the scans are not blurry and are in portrait mode.

●  When you upload this le,  match each exercise with the corresponding pages.   You  may  lose  5  points  for  each problem that is not properly matched.

Grading

Each 5 point part will be graded according to the following rubric.  Scale the number of points for 10 point parts.

●  1 point for effort (substantial attempt to solve the problem - all or nothing).

●  1 point for clarity (work is well written and legible - all or nothing).

●  2 points for work shown (key steps are shown - half credit may be given).

●  1 point for the nal answer (all or nothing).

Late work policy

Late homework is accepted according to the policy below. Please note that this is uniform, regardless of individual circumstances, and no additional extensions will be given.

●  For your rst late assignment within 12 hours after the deadline (as indicated on Gradescope), no point deductions.

●  All subsequent assignments submitted within 12 hours after the deadline will convert to a zero at the end of semester.

●  In all cases, work submitted 12 hours or more after the deadline will not be accepted.

Exercise I (3 X 5 = 15 points)

Consider the vectors a-1  = ( − 1, 2, 2), a-2  = (2, 2, − 1), and a-3  = (2, − 1, 2).

1.  Compute the projection matrices P1  and P2  onto the lines in the direction of a-1  and a-2 , respectively. Multiply those projection matrices and explain why their product is what it is.

2.  Find the projection vectors p-1 , p-2 , and p-3  of  = (1, 0, 0) onto the lines in the direction of a-1 , a-2 , and a-3 . Add the three projections p-1  + p-2  + p-3 . What do you notice? Why does this make sense?

3.  Find the projection matrix P3  onto the line directed by a-3 , then nd P1  + P2  + P3 .  Comment on the result (explain why it makes sense).

Exercise II (2 X 10 = 20 points)

1.  Find the projection of  = (4, 3, 1, 0) onto the nullspace of the matrix A =  .

2.  Find the best  approximation to u-  =  (3, −7, 2, 3)  as  a linear combination of v-1   =  (2, − 1, −3, 1)  and v-2   = (1, 1, 0, − 1).

Exercise III (2 X 10 = 20 points)

1.  Consider the data points ( −2, 3), (2, 1), (3, −4), and (5, 2). Find the equation of the best t li〉e b = C + Dt.

2.  What if instead, for part 2., you had found the best-fit line t = C\  + D\ b.  Is the slope  related to the slope found in 1? How would you have expected the slopes to be related?

Exercise IV (2 X 10 = 20 points)

The given set is a basis for a subspace W . Use the Gram-Schmidt process to produce an orthonormal basis for W.

      1  ┐   ┌     7  

1.   '''    ''' ,  '''    '''

2.   '(┌)        '(┐)

Exercise V (20 ↓ 5 = 25 points)

Consider the matrix

 1(1) A =  '(')0 '0

0

1

1

0

0(0)'   1(1)'' .

1.  Compute the QR factorization of A.

2.  Use your result to nd a factorization of AT A. Can this be viewed as an LU factorization? Why or why not?