Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Mathematics 3DC3

ASSIGNMENT 4

Due Wednesday, March 29, 2023 11:50pm on Crowdmark.  Late assignments will not be accepted since the term test is the following week and solutions will be posted on March 30.

1.  Consider the metric space (Σ3 , d) where Σ3  denotes the sequence space on the three symbols, 0, 1, 2 and the metric d(s, t) for s, t ∈ Σ3 , is given by        d(s, t) =

3i        .

i=0

(a) What is the maximum distance between sequences in Σ3 ? (Justify your answer) (b)  State and prove a 乞2ozimity РeTo2Tm for the metric space (Σ3 , d).

(c) Describe all points in the sequence space Σ3  that are a distance strictly less than from the point s = (2012022).

(d) Describe all points in the sequence space Σ3  that are exactly a distance from the point s = (2012022).

(e)  Consider the metric space (Σ3 , d) and the shift map σ : Σ3  → Σ3 , where σ(s0 s1 s2 . . . ) = (s1 s2 s3 . . . ). Prove that the shift map σ : Σ3  → Σ3 , is continuous at all points of Σ3 .

2.  Consider the periodic points of the shift map, σ : Σ3  → Σ3  where Σ3  and σ are defined in problem 1.

(a)  State how many fixed points there are and list them.

(b)  State how many points there are of prime period 2 and list all the prime period 2 cycles.

(c)  State how many points there are of prime period 3 and how many prime period 3 cycles there are. State also how many prime period 3 cycles there are that only include entries 0’s and 2’s and write them down.

(d)  State how many points are there of prime period 4 and how many prime period 4 cycles there are.

(e)  State how many points are there of prime period 6 and how many prime period 6 cycles there are. Write down THREE different examples of cycles of prime period 6.

3.  Consider the map: Cc (x) = c cos(x).

(a) Find a value of the parameter c for which this map has prime periodic points of every period, and provide an explanation with graphs supporting your argument.

(b) Find a value of the parameter c for which this map has periodic points of every period except prime period 3, and provide an explanation with graphs supporting your argument.

4.  Consider (Σ, d) where Σ is the sequence space on TWO symbols 0 and 1 and d is metric defined in class on this space. Prove that the set Y is dense in Σ, where:

Y = {(s0 s1 s2 s3 . . . ) ∈ Σ | the sequence ends in all 1’s}.