We will use the following notation for continued fractions:

· α ● (a0 ; a1 , a2 , a3 . . .> ● a0 +

for an infinite continued fraction which means that α ● lim (a0 ; a1 , a2 , a3 . . . an>;

· α ● (a0 ; a1 , a2 , a3 . . . an> ● a0 +

for a finite continued fraction or a so-called the n-th convergent which is denoted as pn

·  α ● (a0 ; a1 , a2 , . . . an-1 , [an , . . . an＋k -1]> ● (a0 ; a1 , a2 , . . . an-1 , an , . . . an＋k -1 , an , . . . an＋k -1 , . . .> for a periodic expansion with the period k .

In your solutions show all necessary work when computing the continued fraction expansions. Represent your final answer in the (. . .> form.

1. Executing the Continued Fraction Algorithm for 872\113

Using any method you want, determine the contined fraction expansion for 872/113. Show work. (Since this number is rational, the sequence will, of course, have to terminate.)

2. Closest Proximity of Two Rational Numbers

If a, b, c, d are positive integers with both b ≤ 1000 and d ≤ 1000 and and are distinct rational numbers (i.e.  they aren’t equal to each other), what is the closest they can be to each other?

That is, what is the smallest possible value for

│ - │?

Whatever your answer, give both an example to show that there really are two such rational numbers that close to each other and give a justification why there can’t be two such rationals any closer to each other than that.

3. Number of Convergents for the Desired Accuracy

An interesting real number α is given by the infinite continued fraction expansion:  (2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, . . .>.

Without knowing explicitly what this number is, how many terms of the expansion above are required to get 3 digits to the right of the decimal point accurately? That is, how many terms of the continued fraction for α do we need to be sure that

│α - │ < 0.0005?

(Of course, the answer only is not sufficient. Justify it.)

4. Helpful Fractional Formulas and Continued Fractions; Error of Ap- proximation

Let α = ^3 - 1.

.  Prove the formula:

1

α = .

b.  Use this to find the continued fraction expansion for α . Deduce the continued fraction expansion for ^3.

c.  Find the percentage error of approximation of ^3 when you use first 6 terms of the continued fraction expansion. Is it a reasonable approximation?

5. The Continued Fraction Expansion for Quadratic Irrationals

a.  Find the continued fraction expansion for ^31.

b.  Does your answer verify the following remarkable result?