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Homework 6

Due date: 30 March 2023

1.   Consider the n by n   positive definite  (symmetric) matrix M   and its representation M = RRT   where R is an orthogonal matrix and  is a diagonal matrix. Prove that:

(a)  M −1  = R−1RT   (b) M −1/2  = R−1/2RT   (c)  M1/2  = R1/2RT                                                                    (5)

2.   If u is the n by 1 column vector u = [u1    u2     .  .  . un ]T , show that

i=n

u+  = [u1    u2     . . . un ] /  ui(2)

i=1

That is,  show that u+  satisfies the 4 Moore-Penrose conditions.

3.   Use the function ‘svd’ in Matlab to obtain the Singular Value Decomposition (SVD) of the matrix

「1  2   3   4    5]

|                         |

(a) Identify the matrices U, V, x from the SVD that you get, and also the matrices U1 , V1 ,  that correspond to the  “skinny’ form of the SVD that we talked about in class.

(b) Use the skinny form to get the Moore-Penrose (MP) inverse, A+ ,  of the matrix A.

(c) Check, using Matlab that the A+  you got in (b) satisfies the 4 MP conditions.

(5)