1.EXERCISES [36 marks]

Exercise 1 [9 marks]

Consider the following simple regression model :

y = β0  + β1x  +  u,

where E(u) = α 0  ≠ 0.

Show that the model can be rewritten with the same slope parameters β1 , but a new intercept γ0  (to be determined) and a new error e (to be determined) such that E(e) = 0.

Exercise 2 [6 marks]

Let {xt : t = 1,2, … } be a weakly stationary process such that γℎ  = Cov(xt , xt+ℎ) for ℎ  ≥ 0.

a)    Give the expression for VaT(xt ) as a function of the γℎ , ℎ  ≥ 0. [3 marks]

b)    Give the expression for CoTT(xt , xt+ℎ) as a function of the yℎ , ℎ  ≥ 0 . [3 marks]

Exercise 3 [21 marks]

Let {ut : t = −1,0, 1, … } be a sequence of independent, identically distributed random variables satisfying E(et ) = 0 and V(et ) = 1 for all t = −1,0, 1, …

Let {xt : t = 1,2, … } be defined as folloss:

xt  = ut  − 0 5u.t−1  + 0 5u.t−2,     t = 1,2, …

a)    Compute E(xt ) and V(x_t). Do they depend on t? [9 marks]

b)    Compute CoTT(xt , xt+1) and CoTT(xt , xt+2). [6 marks]

c)     Compute CoTT(xt , xt+ℎ) for ℎ > 2 . [3 marks]

d)    Is {xt : t = 1,2, … }  an asymptotically uncorrelated process? [3 marks]

2.PROBLEMS [64 marks]

Problem 1 [32 marks]

As we saw in the lecture, we can use regression analysis to test the efficient markets hypothesis. A strict form of the      efficient markets hypothesis states that information observable to the market prior to time t should not help to predict the return during time t .

Suppose that you are an economist working for a consultancy firm. Your boss asks you to test the efficient markets         hypothesis. You have datfor n = 142 firms. For each firm, you observe the total return from holding a firm’s stock over the one-year period from the end of 2021 to the end of 2022 (return). For 2021, for each firm, you also observe the     firm’s debt-to-capital ratio (dkr), the earning per share (epS), the net income (netinc), and the total compensation for the CEO (Salary). After carefully investigating the data, you note that some firms have zero debt and others have          negative earnings.

a)    You first regress return on dkr, epS, netinc, Salary and an intercept, which gives you the following results:

rêturn = −14.7 + 0.321dkr + 0.043epS − 0.0051nentinc + 0.0035Salary

(6.89)  (0.201)         (0.078)        (0.0047)                   (0.0022)

n = 142, R2  = 0.0395

where standard errors are shown in parentheses and R2  denotes the R-squared of the regression .         Test whether each explanatory variable is individually significant at the 5% significance level. [6 marks] Test whether the explanatory variables are jointly significant at the 5% significance level. [6 marks]

b)    Then, you regress return on dkr, epS, log(netinc), log(Salary) and an intercept, which gives you the following results:

rêturn = −36.30 + 0.327dkr + 0.069epS − 4.74log(nentinc) + 7.24log(Salary)

(39.37)  (0.203)         (0.080)         (3.39)                            (6.31)

n = 142, R2  = 0.0330

where standard errors are shown in parentheses and R2  denotes the R-squared of the regression.         Test whether each explanatory variable is individually significant at the 5% significance level. [6 marks] Test whether the explanatory variables are jointly significant at the 5% significance level. [6 marks]

c)     During a brainstorming session, one colleague of yours suggests you also regress return on log(dkr), log(epS), log(netinc), log(Salary) and an intercept. Should you try this? Explain. [2 marks]

d)    Is the evidence for predictability of stock returns strong or weak? Explain. [6 marks]

Problem 2 [32 marks]

Suppose that you are an economist at the HM Treasury. You want to study the effects of the growth in wages on the          growth in the overall price level. For the UK economy, you observe the monthly growth in the overall price level (gw) and the monthly growth in hourly wages (gp).

For you study, you use a finite distributed lag model of order 12 and obtain the following results:

gp = −0.00093 + 0. 119gw + 0.097gw−1  + 0.040gw−2  + 0.038gw−3  + 0.081gw−4  + 0. 107gw−5

(0.00057)  (0.052)       (0.037)              (0.039)            (0.042)             (0.031)             (0.029)

+0.095gw−6  + 0. 104gw−7  + 0. 103gw−8  + 0. 159gw−9  + 0. 110gw−10  + 0. 103gw−11  + 0.016gw−12 (0.036)             (0.025)             (0.037)             (0.031)             (0.039)               (0.040)               (0.052)

n = 273, R2  = 0.283

where standard errors are shown in parentheses, R2  denotes the R-squared of the regression, n is the number of observations, and gw−ℎ  denotes the lag of order ℎ for gw .

a)     Plot the lag distribution. At what lag is the effect of gw on  gp largest? Smallest? [8 marks]

b)    Which lags are statistically significant at the 5% significance level? [10 marks]

c)     Compute the estimated long-run propensity. [4 marks]

d)    How would you test the joint significance of six more lags of gw? [10 marks]