1. Let X and Y be two categorical random variables, X with I different categories identified with the set {1, . . . , I} and Y with J different categories identified with the set {1, . . . , J}.  Suppose observations of the variable pair (X, Y) are tabulated in a I × J contingency table. Using standard notations, for a given (i, j) e {1, . . . , I} × {1, . . . , J}, nij  is the entry in the (i, j)-th cell that denotes the count of observations with X equal to its i-th category and Y equal to its j-th category.  A Poisson sampling model for the contingency table assumes that the nij’s are independently distributed with

nij  ~ Poi(µij),

where µij  denotes the Poisson mean for the cell count nij .

(a) Derive the conditional joint distribution of {nij}(i,j)e(1,...,I}x(1,...J}  given n, where n :=     1<i<I nij .

1<j<J         Identify the name of this distribution, and explicitly state what its parameter values are in terms of

{µij}(i,j)e(1,...,I}x(1,...J}  and n.                                                                                                             [5]

(b) Let I = J = 2. The quantity , also known as the odds ratio, measures the association between

X and Y . What should be the value of the odds ratio if X and Y are independent and why?      [3]

2. Data in the following 2 × 2 × 3 contingency table were used to study the effect of passive smoking on lung cancer. The table summarizes the results of case-control studies from 3 countries for nonsmoking women married to smokers.  (Source:  Blot and Fraumeni, J. Nat.  Cancer Inst., 77:993-1000 (1986) and Agresti

(1996).)

(a) A log-linear model mod1 can be fitted to the data, with the results being given in the following R output. Give the mathematical formula of form ln(µ) = . . . for the mean model of mod1, where µ is the mean of the response. Any dummy variables in your formula should be explicitly defined.     [5]

> pasSmoking .dat=data .frame(freq=c(21,73,5,19,71,137,82,188,16,38,249,363))

> pasSmoking .dat$Cnt=factor(rep(c("Japan","UK",  "USA"),  times=2,  each=2))

> pasSmoking .dat$Smo=factor(rep(c("No","Yes"),  times=6))

> pasSmoking .dat$Can=factor(rep(c("Case","Control"),  each=6))

> pasSmoking .dat

freq      Cnt  Smo          Can

1        21  Japan    No        Case

2        73  Japan  Yes        Case

3          5       UK    No        Case

4        19       UK  Yes        Case

5        71     USA    No        Case

6      137     USA  Yes        Case

7        82  Japan    No  Control

8      188  Japan  Yes  Control

9        16       UK    No  Control

10      38       UK  Yes  Control

11    249     USA    No  Control

12    363     USA  Yes  Control

> mod1=glm(freq~Cnt+Smo+Can+Cnt:Smo+Cnt:Can+Smo:Can,  family=poisson,  data=pasSmoking .dat) >  anova(mod1,  test="Chisq")

Analysis  of  Deviance  Table;  Model:  poisson;  Link:  log;  Response:  freq

Terms  added  sequentially  (first  to  last)

Df  Deviance  Resid .  Df  Resid .  Dev  P(>|Chi|)

NULL

Cnt

Smo

Can        Cnt:Smo Cnt:Can Smo:Can

11        1168 .85

2      726 .43                  9          442 .42  <  2 .2e-16

1      112 .52                  8          329 .90  <  2 .2e-16

1      307 .56                  7            22 .34  <  2 .2e-16

2        15 .50                  5              6 .84  0 .0004316

2          1 .05                  3              5 .80  0 .5919109

1          5 .56                  2              0 .24  0 .0184215

>  1 -pchisq(0 .24,2)

[1]  0 .8869204

>  1 -pchisq(5 .80,3)

[1]  0 .1217566

(b) Expanding the notation from Question 1, for the current contingency table we can also use nijk  to denote the count in each cell, where i e {1, 2}, j  e {1, 2}, k e {1, 2, 3} are indices corresponding to Can  (variable X),  Smo  (variable Y) and Cnt  (variable  Z) respectively.   Moreover,  if nijk   are independently distributed with

nijk  ~ Poi(µijk),

one can, for any k e {1, 2, 3}, define the odd ratios θXY (k) =  for the partial table with Z = k .

The table is said to have homogeneous XY association when θXY (1) = θXY (2) = θXY (3) . Explain why

the model in part (a) has XY homogenous association.                                                                    [5]

(c)  Based on the displayed R output in (a), test the significance of the interaction effect Smo:Can at significance level 0.05, eliminating the effects of all other terms in mod1.  Provide your conclusion with clear explanation.                       [4]

(d)  Based on the displayed R output in (a), test the adequacy/goodness-of-fit of model

Cnt+Smo+Can+Cnt:Smo+Cnt:Can

at significance level 0.05. Provide your conclusion with clear explanation.

(e) Are your conclusions in (c) and (d) contradictory?  You must give an explanation to get any score. [5]

3. A variable Y taking values in {0, 1, 2, . . . } has a Negative Binomial (NB) distribution if its probability

mass function has the form

p(Y = y; µ, κ) =

for y = 0, 1, . . . , where µ is the mean of Y .

(a) When κ is considered as fixed (or known), the NB distribution belongs to the exponential dispersion

model (EDM) discussed in class.  Write out its form as an EDM explicitly.  In particular, you have to identify the natural parameter θ and the dispersion parameter φ in terms of µ and κ whenever appropriate, and identify b(.) (as a function of θ). You can simply take the weight ω to be 1.      [5]