Question-1: Let A = {2, 3, 4}, B = {2, 5, 6}, C = {5, 6, 2}, and D = {6}.

(a) Determine which of the following six statements are true:

4 ∈ C  False  5 ∈ C  True; A ⊆ B False ; D ⊆ C True; B = C True; and A = B False.

(b) List all members of each of the following eight sets: A ∩ B; A ∪ B; A\B; B\A; (A ∪ B)\(A ∩ B); A ∪ B ∪ C ∪ D; A ∩ B ∩ C; and A ∩ B ∩ C ∩ D.

A ∩ B={2}             A ∪ B={2,3,4,5,6}    A\B={3,4}          B\A={5,6}        (A ∪ B)\(A ∩ B)={3,4,5,6}

A ∪ B ∪ C ∪ D={2, 3, 4, 5, 6} A ∩ B ∩ C={2} A ∩ B ∩ C ∩ D={}

Question-2 Consider the sets N, Z, Q, R and R+ .  What (if any) are the subset relations between these sets?

N 仁 Z, Q, R    Z 仁 Q, R    Q 仁 R    R+ 仁 R  . Every other relation is of the form 

Question-3 Let A  B, B  C and C  A. Show that A = B = C

Vx = A  x = B  x = C

 Vx= A  x = C  A  C 

卜  A = C

We also know that        C  AJ

Question-4 Let P be the power set. Rate the following as True or False:

a) ∅   G for all sets G.             T

b) {∅}  G for all sets G.         F

c) ∅    P(G) for all sets G.        T

d) {∅}  P(G) for all sets G.     T

e) ∅ ∈ G for all sets G.             F

f) ∅ ∈ P(G) for all sets G.         T

g)  P(P(∅)) = {∅, {∅}}.               T

Question-5 Use Venn diagrams to prove that:

For case (b) the Venn diagram is depicted below

Source:GuideOCom: De Morgan's Laws  | Venn Diagrams  | Proofs Maths  | Sets

Question-6 If A is a set with a finite number of distinct elements, let n(A) denote its cardinality, defined as the number of elements in A. If A and B are arbitrary finite sets, prove the following: (a) n(A UB) = n(A) + n(B) − n(A n B) (b) n(A\B) = n(A) − n(A n B)

(a) Looking at Fig. A1.1.6. , n(A U B) is the sum of the numbers of elements in the pairwise disjoint sets labelled (1), (2), and (3) respectively —that is, n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A). But n(A) + n(B) is the number of elements in (1) and (2) together, plus the number of elements in (2) and (3) together. Thus, the elements in (2) are counted twice. Hence, you must subtract n(A ∩ B), the number of elements in (2), to have equality.

(b)  (b) Look yet again at Fig. A1.1.6. Now, n(A \ B) is the number of elements in set (1), whereas

n(A) − n(A ∩ B) is the number of elements in (1) and (2) together, minus the number of elements in (2) alone. Hence, it is the number of elements in (1).

Question-7 Are these two statements equivalent?

Those who knew him, loved him.

Those who loved him not, knew him not.

Yes, because the second is the contraposition of the first.

Question-8 Use contrapositive principle to show that if x and y are integers and xy is an odd number, then x and y are both odd.

The contraposition to the above statement is: If one of x or y or both are even then xy is an even number.

Let’s assume x is the one that is even, then x=2z where z is an integer. Now we can write

xy=2×z×y=2(zy). As zy is also an integer, xy is obviously even.                                               Q.E.D.