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AMA540 Time series (2022/23)

Assignment 2

Notes:

(a) Submit your assignment to Blackboard on or before 6:30 pm, 29th Mar. 2023 (b) Heavy deduction of marks will be applied to late submission.

(c) Check your submitted file carefully. We shall mark your submitted file. A     wrong file will get no marks. An incomplete file will get incomplete marks.

1. Suppose that {Yt } is an AR(1) process with −1    1.  Yt  = Yt−1 + et , et        NID(0,2 ) 

(a) Find the autocovariance function for Wt  = Yt  = Yt  − Yt −1  in terms of   and 2 .

(b) Show that var(W ) =

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t          1 +  .

2. For the ARMA(1,2) model  Yt  = 0.7Yt −1 + et  + 0.6et−1 + 0.5et−2 , et        NID(0,2 ) ,find

(a) (k) in terms of (k − 1) for k >2.

(b) (2) in terms of  (1),2 ,&  (0). Here   (0) = var(Yt ).

(c) (1) in terms of  2 , &  (0) .

3.  You are given the ARMA process:

X = 0.5X   − 0.04X    + 0.25Z    + Z

Determine the coefficients bi in the infinite series representation of Xt by Zt . Namely, find bi if 

Xt  =  bi Zt−i

i =0

4.  The MA(2) process is defined by Xt  = 1at−1 +2at−2 + at , at  ~ IID(0, )2 . Consider two MA(2) processes, one with  1  = 2  = 1 / 6 and another with

1  = 1, &2  = 6.

(a) Show that these processes have the same autocorrelation function.            

(b) How do the roots of the polynomial in the backshift operator B compare?

(c) Determine which of the two processes are invertible. Find the first three partial autocorrelation coefficients of the invertible process.

5. From a time series Yt of length 100, we have computed r1  = 0.8, r2  = 0.5, r3  = 0.4, y = 2 , and a sample variance of 5. Let us assume that an AR(2) model with a constant term is  appropriate, namely, (Yt  − ) = 1 (Yt−1 − ) + 2 (Yt−2  − ) + et ,  et        NID(0,2 ) .      Find estimates for  1 ,2 , , & 2 .