In this assignment, you are asked to analyze a simplified version of the Huggett (1993) model of interest rates in markets with uninsurable idiosyncratic income risk.1    This is one of the seminal papers in the literature on equilibrium in incomplete markets. While the original paper analyzed a version of the model that can only be solved numerically, here you are investigating a special case with an income process as in Constantinides, Duffie (1996) that allows for an analytical model solution.2  You do not need to take a look at these papers to solve the following problems. But this background hopefully provides some motivation for why this is an interesting model to study.3

There are two problems that build on each other. The first problem is conceptually simpler as it considers only a two-period version of the model.  The second problem asks you to turn this two-period version into an infinite-horizon model.

I    A Two-Period Model (60%)

In this problem, you are asked to consider a simple two-period version of the Huggett model. Start by analyzing the decision problem of a single household.   The household lives for two

periods and has separable, logarithmic expected utility preferences over consumption log C0(i) + β匝 [log C1(i)] .

The household has no initial financial wealth and receives income Y0(i) , Y1(i)  in periods t = 0 and t = 1, respectively. Income Y0(i)  is known to the household whereas income Y1(i)  is stochastic. To keep matters simple, assume that income growth Y1(i)/Y0(i) is lognormally distributed. Specifically,

let

Y1(i) = Y0(i)es1(i)

where

s1(i)  := σε1(i) ≥ σ 2 .

Here, σ > 0 is a parameter and ε1(i)  is a standard normally distributed random variable (which means it is normally distributed with zero mean and unit variance).

The household faces severely incomplete financial markets.  The only asset to transfer re- sources across periods is a risk-free asset.  The gross return on the risk-free asset is R.  The household takes R as given and can freely save and borrow at this rate.

1. Use the formula 匝[eX ] = e匝[X]+var(X), which holds for any normally distributed ran- dom variable X, to compute the expectation and variance of income growth Y1(i)/Y0(i), i.e. 匝[Y1(i)/Y0(i)] and var(Y1(i)/Y0(i)).  Conclude that the parameter σ only controls the variance of income growth but not its expectations. This will be useful for interpretation below.       Hint: Recall the formula var(X) = 匝[X2]≥(匝[X])2 for the variance of any random variable X .

2. Write down the maximization problem of the household.

3.  Take first-order conditions in the maximization problem defined in part 2.

Note:  It is sufficient to state the conditions.   There is no need to eliminate Lagrange multipliers or even solve the problem.

4. Next, investigate the so-called autarky solution at which the household consumes its en- dowment in all periods  (and states),  C0(i)   =  Y0(i) ,  C1(i)   =  Y1(i),  by answering the following questions:

(a) At which interest rate R would the household find the autarky solution optimal? Does your answer depend on Y0(i)?

(b) Let r := log R and ρ := ≥ log β .  Show that if R is the autarky interest rate deter- mined in part (a), its logarithm satisfies the equation

r = ρ ≥ σ 2 .                                                       (1)

(c) Why does σ 2  appear in equation (1) even though the asset is risk-free?  Provide a brief (2-4 sentences) explanation and interpretation.

Consider next a full general equilibrium model.  Suppose the economy is populated by many different types of households, indexed by i = 1, ..., I . The population weight of each household group as a proportion of the total population is νi = 1/I . The representative household of each type faces a decision problem that is analogous to the one of the single household analyzed so far.  Household types may differ with regard to their initial-period income Y0(i)  and with regard to the stochastic shock ε1(i)  they receive in period 1.  By implication, different household types will experience different realizations of log income growth s1(i) . The total exogenous state of the economy at period 1, s1 , is a vector

s1 = (s1(1), s1(2) , ..., s1(I))

that summarizes the log income growth realizations s1(i)  of all household types i = 1, ..., I .

Assume that aggregate income in period 0 is 1, that is

I

Y0  :=        Y0(i) = 1.

i=1

Aggregate income in period 1, Y1, is in principle dependent on the random state of the economy, s1 , and given by

I                                   I

Y1(s1 ) :=        Y1(i)(s1(i)) =        Y0(i)es1(i) .

i=1                            i=1

However, the Huggett model is concerned with a situation in which individual income risk is purely idiosyncratic and washes out in the aggregate.   If one was to take the limit I  → o of infinitely many income types, this could by achieved by assuming that ε1(i)  are independent across different income types i: the law of large numbers would then imply that individual-level income shocks average out in the aggregate and Y1(s1 ) = 1. To avoid having to take a limit of economies, one can achieve the same outcome with finite I by assuming that the ε 1(1), ε1(2) , ..., ε1(I) have a suitable correlation structure.  The precise definitions to make this work do not matter for the economic implications. Therefore, continue the following questions by simply assuming

that

I

       Y1(i)(s1(i)) = 1       for all s1 = (s1(1) , ..., s1(I)).

i=1

5.  Define the notion of a competitive equilibrium in this environment.

6.  Show that the autarky allocation Ct(i)  = Yti  for all t = 0, 1 and all i = 1, ..., I is a valid competitive equilibrium.  To do so, find a suitable equilibrium interest rate R consistent with it and show that all the conditions in your equilibrium definition from part 5 are satisfied.

Hint: You can use without proof that the first-order conditions in the household problem are sufficient for an optimal solution (because the objective is concave and the constraints are linear).

II    Infinite-Horizon Model (40%)

In this problem, you are asked to transfer the previous model to an infinite-horizon version. Specifically, suppose the economy is now populated by infinitely-lived households of I types, i = 1, ..., I , each of which exist in equal proportions in the total population, ν1 = - - - = νI  = 1/I . The representative household of type i ∈ e1, ..., I个 chooses stochastic processes of consumption eCt(i)个 and savings eAi个  in order to maximize expected lifetime utility

U0(i) = 匝 ┌ t βt log Ct(i)┐

subject to the flow budget constraints (at all times t)4

, C(C)  A(A)  Y(Y) ,+ RtAi_

Income Yti  at time t is stochastic and given by

Yti = Y0(i)est(i) ,

where

st(i) =z(t) ╱σετ(i) ≥ σ 2 、

with random shocks ε1(i), ε2(i) , . . .  that are standard normally distributed and independent over time. Equation (2) also holds for t = 0 if we define s0(i)  := 0 for all i = 1, ..., I .

The total exogenous state of the economy at time t is given by st  := (st(1) , ..., st(I)) and the total history of exogenous states at time t is s = (s0 , s1 , ..., st) ∈ St .5   You may again assume that the correlation structure of individual states st(i)  across types i is such that aggregate income

I

Yt(s) :=  z Yti(st(i))

i=1

is the same after all histories s ∈ St  and simply given by Yt(s) = 1.6

A competitive equilibrium in this economy consists of stochastic processes

eCt(1) , ..., Ct(I) , A1 , ..., AI , Rt+1个

for consumption, savings, and interest rates (meaning Ct(i) , Ai  and Rt+1  all depend on histories s ∈ St) such that

(a) For each i = 1, ..., I, the process eCt(i), Ai个  solves the decision problem of household type i given the interest rate process eRt+1个;

(b)  all markets clear:

(i) goods market in period t after history s ∈ St:

I

       Ct(i)(s) = 1;

t=1

(ii)  asset market in period t after history s ∈ St:

I

       Ai(s) = 0 .

t=1

Perform the following tasks:

1. For each i = 1, ..., I and all dates t, derive the time-t Euler equation for household type i.

Hint:  If the infinite-horizon problem confuses you, you may consider a finite-horizon T with T > t and show that the Euler equation does not depend on the horizon T. But you may, of course, work directly with the infinite-horizon problem if you prefer.

2.  Suppose household i  ∈ e1, ..., I个 contemplates the autarky consumption plan, Ct(i)(s) = Yti(st(i)) for all times t and all s ∈ St .  How does the interest rate process eRt+1个 have to be to make this autarky consumption plan optimal for the consumer?

Hint :  Revisit how you approached part 4(a) of Problem 1 and try to transfer the same idea to this infinite-horizon setting.

3.  Observe that your answer to part 2 does not depend on the type i (you can make this observation even if you have failed to solve part 2). Explain briefly in words (2-3 sentences) why this should intuitively imply that the autarky allocation (all households consume their income) must be a competitive equilibrium.

4. Now check the formal equilibrium conditions. Define all elements of the equilibrium pro- cess eCt(1) , ..., Ct(I), A1 , ..., AI , Rt+1个 such that you obtain the autarky allocation.  Show that this definition satisfies (1) all household Euler equations (as derived in part 1), (2) all household budget constraints, and (3) all market clearing conditions.7

5. How does the equilibrium interest rate behave over time in the equilibrium determined in part 4? How is it affected by the parameter σ?