1.2 Academic integrity

· This is an individual project. When you submit the coursework via Moodle, you must

accept an Academic Integrity statement.

You are required to read the information on plagiarism on the following website:

https://info.lse.ac.uk/Staff/Divisions/Academic-Registrars-Division/ Teaching-Quality-Assurance-and-Review-Office/Assets/Documents/Calendar/ RegulationsAssessmentOffences-Plagiarism .pdf

Note in particular the first paragraph on this website:

“All work for classes and seminars (which could include, for example, written assignments, group work, presentations, and any other work, including computer programs) must be the student’s own work.   Direct quotations from other work must be placed properly within quotation marks or indented and must be cited fully.   All paraphrased material must be clearly acknowledged. Infringing this requirement, whether deliberately or not, or passing off the work of others as the student’s own work, whether deliberately or not, is plagiarism.”

· Note that all reports and codes will be submitted to Turnitin for textual similarity

review and the detection of plagiarism.

·  This is an open book assessment and you are allowed to use any material made available on

Moodle for ST303 and any academic literature as long as you cite the material that you use fully.

· You are NOT permitted to: consult any online forum about the content of the assessment;

allow any other person to edit or proof read your work; submit any ideas or phrasing that are not your own (without appropriate citation).

· If you discuss the coursework with other students, your report must include an acknowledge-

ment section, which should include the other students’ candidate numbers and the questions you helped each other with.

·  The examiners may conduct vivas to check that you were the author of the submitted files.

1.3 Specific guidelines on report

·  The coursework consists of three problems. Your answers to all three problems will count

towards the final mark.

· Write a report (in the form of a R markdown file) and not just a question-answer style exercise

set solution to answer the questions. Your report should contain all mathematical derivations, figures, tables, calculations, codes, discussion, etc. Use complete sentences throughout. Give detailed arguments to explain your ideas and carefully justify your answers to show you understood the material.

· Your figures should be well formatted, with good axis labelling and appropriate titles.  A

clear illustration of numerical solutions is an essential marking criterion.

·  Some questions can be solved with multiple approaches. Bonus will be given if (1) pros and

cons of different approaches are compared, or (2) an effort has been made to improve the algorithm efficiency via better implementations or analytical formulas.

·  Please only provide one markdown file and one pdf-file.  Separate answers to the different

questions clearly in this report.

· You have to write your own R code and you must not use code from any other sources

(libraries, books, internet etc.) - the only exception to this rule is that you are allowed to use in-built R functions and the R code that is available on the ST303 Moodle page.

· Your submitted markdown file should run completely without any error message.

· In particular, note that your markdown file should NOT ask the user to enter variables needed

for the computation.  Choose reasonable default parameters yourself and make clear in your report what the meaning and the names of the variables are.

· Add appropriate comments to your code to explain what your code is doing.

· Page limit:  Use concise writing throughout.  The pdf-version of your markdown file must

not exceed 25 A4 pages (using the standard settings within the markdown file).

1.4 Marking criterion

The coursework will be marked in line with the departmental assessment criteria which are available in the undergraduate handbook on p.17 which is available here:

https://www.lse.ac.uk/Statistics/Assets/Documents/

BSc-Department-of-Statistics-Handbook-2021-22 .pdf

1.5 Questions about the coursework

If you find that you have a question which is one where you would normally put your hand up (during a sit-down exam) and ask the invigilator for clarification, please post the question on the Q&A session in the Moodle forum.  Your question will be considered by the person who set the coursework as soon as possible. Do NOT email the convenor directly.

2 Description of coursework

If you use a random number generator for any of the problems below, seed the generator so that the results are reproducible.

Justify your simulation procedure with necessary mathematical derivations, comparison against theoretical values, and proper visualisations.

Problem 1. Consider  the  discrete  random  variable  N  that  can  only  take  even  values  and  its distribution is given by

2λ2k

P(N = 2k) =  (eλ + e −λ )(2k)! ,     k = 0, 1, 2, . . .

(1)  Set out a procedure to generate one simulation of the random variable N .  [15 points]

(2)   Use your procedure to  approximate the mean and variance  of N,  and compare them to some reference values computed by other methods .  [10 points]

Hint: To  obtain  a  reference  value,  you  may first  compute  the  moment  generating func- tion of N by using the series expression of a suitable hyperbolic function  (see https: // en. wikipedia. org/ wiki/Hyperbolic_ functions) .

Problem 2. (1)  Suppose  that you  can generate  samples from  the  density g(x), x > 0 .  Explain how would you generate a random variable with density

g(exe),    x > R.

[5 points].

Hint: you may consider a composition method.

(2)  Let α > 0 .  Set out a procedure to generate samples from the density

2^α exe

[10 points]

(3)  Consider a random variable with the density e−x4 ,    x > R.

Set  out  a procedure  to  simulate  this  random  variable  using  an  acceptance-rejection  method with the density in Problem 2(2)  as envelope .  Report the acceptance rate .  [15 points]

(4)  Suggest  an  alternative  method  to  generate from  the  density  in  Problem  2(3)  without  using acceptance-rejection.  [10 points]

Hint: consider combining the trick in Problem 2(1)  and the inverse transform method.

Problem 3. We  consider applying a randomised algorithm to isolate the first element of a vector from the remaining  elements .  For each integer n < 2, we denote by Zn  = (Zi) a sorted vector of real numbers such that Zi  < Zj for all i < j . The algorithm goes as follows:

·  Fix an initial vector Zn = (Zi) of length n and a parameter α > 0 .  Set Z(0) = Zn .

·  For  the  k -th  iteration  (with  k  >  N),  take  the  current  vector Z(k − 1)   (note  that Z(k − 1)   = (Zi) with  some  m ● n),   and  randomly  split  it  into  2  vectors,  where  the  probability