If you want the same (pseudo-)random numbers generated each time, place a command like

set .seed(36784)

in your first chunk so that the (pseudo-)random number generator always starts from the same “point”.

Consider taking random samples with replacement of size n from the population S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Before you start the actual computer exercise it will help if you do some quick calculations, namely if X denotes a single random draw from S, determine

µX  = E(X)  and σX(2)  = Var(X) = E(X2) − [E(X)]2 .

Furthermore note that the expected value µY  = E(Y) and variance σY(2)  = E(Y2) − [E(Y)]2  of the total Y = 对 Xi  (as functions of µ , σ 2  and n) where X1,X2 , . . . ,Xn  denote a random sample of size n taken from S with replacement are given by µY  = nµX  and σY(2)  = nσX(2) .

We shall be looking at ways to evaluate and/or approximate probabilities of the form P(Y ≥ y) for various values of n and t, in particular

❼ P(Y ≥ 15) when n = 3 and

❼ P(Y ≥ 45) when n = 10.

We shall be making use of the rep() command in R, which repeats numbers in various ways. There are two main forms of usage:

❼ rep(vec,int), where vec is a vector and int is a positive integer, simply creates a new

vector where vec is repeated int times, e.g.

>  x  =  1:6

>  x

[1]  1  2  3  4  5  6

>  rep(x,3)

[1]  1  2  3  4  5  6  1  2  3  4  5  6  1  2  3  4  5  6

❼ rep(vec1,vec2), where vec1 is an arbitrary vector and vec2 is a vector of non-negative

integers the same length as vec1; this creates a new vector in which vec1[i] (the i-th element of vec1) is repeated vec2[i] times, e.g.

>  x  =  1:6

>  x

[1]  1  2  3  4  5  6

>  rep(x,c(1,2,3,1,2,3))

[1]  1  2  2  3  3  3  4  5  5  6  6  6

These two forms can be combined together in rather interesting ways:

>  x  =  1:6

>  rep(rep(x,rep(2,6)),3)

[1]  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6 The above is the same as the following sequence of steps:

>  a  =  rep(2,6)

>  a

[1]  2  2  2  2  2  2

>  b  =  rep(x,a)

>  b

[1]  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6

>  rep(b,3)

[1]  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6

Computer Problems for Week 4

For this week’s lab report:  Please submit your code, output, and any comment required, for Q7 and Q8 (a), (b), and (c) ONLY. An assignment item has been set up on Canvas; file upload format is limited to pdf and html.

1. Define x=1:6.  By applying rep() to x, create a vector X3 which simply repeats x 36 times.

2. Now create another vector X1 of length 216 with 36 1’s, 36 2’s,. . . ,36 6’s (hint:  use a command of the form rep( . . . ,rep( . . .))).

3. Finally create a vector X2 of length 216 which takes a vector consisting of 6 1’s, 6 2’s,. . . ,6 6’s and then repeats it 6 times (hint: rep(rep( . . . ,rep( . . .)), . . .)).

4. The matrix outcomes=cbind(X1,X2,X3) gives a representation of all outcomes in the sample space when sampling 3 times from S with replacement.  Print the first 13 lines of it using outcomes[1:13,]. Obtain a vector sums of row sums of this matrix (see last week’s exercise if you forget how to do this).

5. Using the vector sums, determine (for the case n = 3)

(a) µY  = E(Y),

(b) σY(2)  = E(Y2) − [E(Y)]2  and

(c) P(Y ≥ 15)

(note sum(vec>=x) counts the number of elements of the vector vec that are greater than or equal to x; also mean(vec) is the same as sum(vec)/length(vec)).

6. A nice way to visualise the probability distribution of Y is to plot an ordinate diagram (as opposed to a histogram, since the random variable is discrete):

‘‘‘{r  Q6}

propns=table(sums)/length(sums)

plot(propns,type="h")

‘‘‘