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AMA507 2021/22 Semester 2

Mid-term test

22:00 March 10 (Thursday)–22:00 March 13 (Sunday), 2022

Guidelines:

1.  You must do the Question 1 (honour statement), otherwise, your solution paper may not get marked.

2.  Hand write solutions showing all proper steps on A4 paper using black or blue pen. You may also use iPad or other device to handwrite your solutions.

3.  Scan your solutions page by page, make sure that the solutions are legible. Rotate the page if the picture is not in the right direction. No marks will be given if the marker can not read your handwriting. Please use the“CamScanner”app (other app scanners like“Tiny Scanner”or“Genius Scanner”) to scan your solutions into a pdf ile.

4.  Upload your code (please produce all codes into a ile, for example, R script (for R) or m ile (for Matlab) and so on. Then upload the corresponding ile).

5.  You should export your plot (search how to export your graph) as a pdf ile and attach to your hand- writing submission.

6.  Name the iles as StudentID.pdf. Upload the pdf iles to“Mid-term test”on your AMA507 Blackboard website under the“/Content/Mid-term test”folder.

7.  Make sure that you inish uploading the iles before 22:00 March 13 (Sunday), 2022.  After uploading, please click back to review your uploading. Make sure it is correct, before you leave

8.  Please note that the submission link will disappear at EXACTLY 22:30pm March 13, however, submis- sions after 22:00pm will be highlighted as late submissions by the system and mark deduction will be imposed.

9.  There are four questions in this test.

[Q1:  Honor  Statement] Please copy the following honour statement (in bold face) as the solution to your  Question 1 in your midterm test:“By submitting the Take Home Midterm Test through the Blackboard  system, I a伍rm on my honour that I am aware of the Regulations on Academic Integrity in Student  Handbook and have not given nor received any unauthorized aid to/from any person or persons.” At the end of your honour statement, please write your FULL name, Student ID, and your signature.

[Q2: Discrete dynamical system] The Solow-Swan model or exogenous growth model is an economic model of long-run economic growth. It attempts to explain long-run economic growth by looking at capital accumulation, labor or population growth, and increases in productivity largely driven by technological progress (copied from Wikipedia page about Solow-Swan model). The discrete time version of the model takes the following form

In the above model, all parameters are positive constants.

(a)  [7 marks] Due to the problem nature, the variables can not be negative for initial values P1 (0) 0, P2 (0) 0.  This can be mathematically shown by checking the solutions of each variable.  By rewriting f(t) = a + bP2 (t) as a function of time t, the irst equation becomes dP1(t)dt  = k1 一 P1 (t)f(t). Please solve the equation

dP1 (t)

with initial value P1 (0) 0;

(b)  [3 marks] By using the expression of solution in part (a), can you conclude that P1 (t) > 0 for all t > 0 and any function form f(t)?

(c)  [15 marks] Assume k1  = 9, k2  = 7, a = c = 1 and b = d = 2.  Find all possible equilibriums, and do the local stability analysis.

(d)  [15 marks] Now assume k1  = 9, k2  = 7, a = c = 1 and b = d = 2.xy (parameters b and d are derived from your student number, by setting xy as the last two numeric digits of your student number. For example, if your student number is A1234567G, then b = d = 2.67). Using proper software or programming languages to:  (i) Run solution simulations on [0, 20] with initial value (P1 (0),P2 (0)) = (2.9, 0.9); (ii) Which option would the individual prefer to choose at time t = 20? (iii) Based on the limit of the solution when t → ∞ , can you estimate the equilibrium;  (iv) Please evaluate the corresponding eigenvalues for the Jacobian matrix for this equilibrium, and furthermore, determine the stability of the equilibrium.

Remark:  Attach your results in the pdf submission and also upload your code

[Q4:   Optimization  models]   Assume that there are limited vaccines to be distributed to the population with diferent sizes in each age group:  N1   =  10000  (group  1 of individuals with speciic ages),  N2   = 20000 (group 2 of other individuals). Assume the number of vaccines available V is not enough to cover all individuals N = N1  + N2  = 30000, that is V < N . Now assume V1 and V2 are the number of vaccines distributed to each group with V1 N1  and V2 N2 , then the coverage for each group is x = V110000   and y = V220000 .  Suppose the disease risk can be described by an index

C = f(x,y) = 15 一 (x + x2  + 6xy + 6y2 + y)

with speciic coverages of each group 0 x 1 and 0 y 1.

(a)  [10 marks] If V = 10000, can you ind the optimal vaccination allocation strategy (optimal values for x and y) to minimize the disease risk function

C = f(x,y) = 15 一 (x + x2 + 6xy + 6y2  + y)

(b)  [10 marks] Since we are uncertain about the exact number of vaccines, please do the sensitivity analysis of the minimum disease risk C, the optimal vaccine coverages in each group x, y in terms of the assumption V = 10000.