1.  In this question, you may use any standard properties of Brownian motion, including its quadratic variation, and the fact that its sample paths are almost surely locally α-H¨older continuous for any α e (0, ) .

(a)  Let B  be a  (standard one-dimensional)  Brownian  motion,  adapted to a filtration

(rt )t>0 .

Let us fix a finite time T > 0 . For p 2 1 and a path x: [0, T] - R, the p- variation of

x is defined as

lxlp-var  := ╱ sπ(u)p  |xti≠1  _ xti |p、 ,

where the supremum is taken over all possible finite partitions π = }0 = t0  < t1  < . . . < tN  = TI of the interval [0, T].  If lxlp-var  < o, then x is said to have finite p- variation.  If lxlp-var  = o, then x is said to have infinite p- variation.

Prove that almost every sample path of B has finite p-variation for every p > 2 .

(b)  Prove that almost every sample path of B has infinite p-variation for every p e [1, 2) .

For parts (c)– (e) of this question, let β e (0, 1], and let f : R - R be a β-H¨older continuous function . That is, suppose that there exists a constant C > 0 such that

|f(x) _ f(y)| < C|x _ y|β            for all    x, y e R.

(c)  Explain why, for any s < t, we have the equality:

E ┌|Bt _ Bs |2β┐ = (t _ s)β E ┌|B1 |2β┐ .

(d)  Show that, for any t > 0,

E ┌ 匕0 t  │f(Bs ) │2 ds┐ < o.

(e)  It follows from the previous part and the theory developed in the lectures that the stochastic integral   0(t) f (Bs ) dBs  exists .  Prove that it is given by

匕0 t f (Bs ) dBs  = llTl(i)0尸(N_1) f (Bti)(Bti≠1  _ Bti),

where the limit exists in L2 (Ω), and may be taken over any sequence of partitions π = }0 = t0  < t1  < . . . < tN  = tI of the interval [0, t] with vanishing mesh size . You may use the Itˆo isometry and any standard properties of simple processes .

2.   (a)  For some T > 0, let f : [0, T] x R - R be a function which is twice continuously differentiable with uniformly bounded derivatives .  Let λ > 0, let B  be a Brownian motion, and let X be the stochastic process given by

Xt  = e_λt f (t, Bt )       for    t e [0, T].

By first applying Itˆo’s formula to the function e_λt f (t, x), show that X is a martingale if and only if the function f satisfies the partial differential equation:

∂f               1 ∂2 f

∂t             2 ∂x2

(b)  By identifying a suitable value of λ and a suitable function f , deduce from part (a)

that, for any γ e R, the process given by

eγBt _γ 2 t/2            for    t e [0, T]

is a martingale .

(c)  Now consider a Black–Scholes model with a risk-free bond with price process β, and a stock with price process S, which satisfy

dβt  = rβt dt,

dSt  = αSt dt + σSt dBt ,

where α e R, σ > 0, and r e R is the rate of continuously compounded interest .

Assume that the price of an option is given by a process V , which may be written as

Vt  = u(t, St )

for some function u : [0, T] x (0, o) - R, which is twice continuously differentiable with uniformly bounded derivatives .

Suppose that an investor decides to hold one option, a number at  of stocks, and a number bt  of bonds, so that the wealth of their portfolio is given by

Wt  = Vt + at St + bt βt .

(d)  For an m x m real matrix A = ((aij )), define

m

lAlo  := m x 尸 |ai(a) ij |

j=1

m

lAl1  := m x 尸 |aj(a) ij |.

i=1

(i)  For any two real matrices A, B, show that lA + Blo  < lAlo + lBlo .

(ii)  Show that if A is a real, symmetric matrix, then

lAlo  = lAl1 .

4. The price of a European put option can be obtained using the Crank Nicolson(CN) finite difference method . The given parameter values are strike price E = 4 ; volatility σ = 0.3, interest rate r  = 0.03;  and T  =  1; L =  10; N北   = 50; Nt   = 50; k  = T/Nt ; h = L/N北 . Here T is the maturity time, L is the length along the x-axis, N北  is the number of steps along the x-axis, Nt  is the number of steps along the time t-axis .  In the code below, the Crank-Nicolson algorithm is implemented using Python .  Recall that the following implicit matrix equation related to the CN method, where our aim is to solve for Vi+1

 (I + B)Vi+1  =  (I + F)Vi +  (pi + qi ),               (1)

where the notations I, B, F, Vi , pi  and qi  are similar to that discussed in class .

(a) The following  Python code should generate all the matrices required to write the

CN formula .  Fill in the blanks (indicated by          ) in the incomplete Python code below .  Remember to use the right indentation and syntax .  No credit will be given if you change parts of the code other than the indicated ones .  The source code is attached .

import  numpy  as  np

import math

import  itertools  #  used  to  convert  into  suitable  data  object    #  All  packages  here                                                                                    ##############################################################

Nx  =50  #  number  of  steps  along  the  x-axis

T=1  # maturity  time

Nt=50  #  number  of  time  steps

time˙step  =  T/Nt

r=0 .03

sigma=0 .3

L=10

h=L/Nx

E=4

#  All  parameters  here                                                                                ##############################################################

mvec=  [  x  for  x  in  range(1,  Nx)]  #  an  array with  entries  1,2, . .Nx- 1 D1=np .diag(mvec)

square˙mvec=  [x  **2  for  x  in mvec]

D2=np .diag(square˙mvec)

zero˙vector1  =np .zeros((Nx-2,  1))

zero˙vector2=  np .transpose(zero˙vector1)

B1=np .identity(Nx-2)

Upper˙triangular1=  np .block([

 ,

[0,  zero˙vector2]

])

Lower˙triangular1  =  np .transpose(         * Upper˙triangular1)            Tridiagonal1= Upper˙triangular1  +  Lower˙triangular1                        Tridiagonal2= Upper˙triangular1+          +  (-2)  *  np .identity(Nx- 1)

Intermediate1=  0 .5*time˙step*  r  *(np .matrix(D1)@  np .matrix(Tridiagonal1)) #Multilpy matrices  D2T2

Intermediate2=  0 .5*time˙step*sigma**2*(np .matrix(D2)  @  np .matrix(Tridiagonal2 #  Fmatrix  =F  as  in  equation  (1)  above

Fmatrix  =  (1-r*time˙step)*np .identity(Nx- 1)+         +Intermediate1 #  Bmatrix=B    in  equation  (1)  above

Bmatrix  =  (1+  r*time˙step)*         -  Intermediate2  -          

#A1matrix=1/2  (I  +  F)  on  RHS  of  equation  (1)  above

A1matrix=  0 .5  *  (         +Fmatrix)

#  A2matrix=1/2  (I+  B)  on  LHS  of  equation  (1)  above

A2matrix  =  0 .5  *  (          +  Bmatrix)

(b) The following Python code should solve the implicit CN matrix equation (1) .  Fill in

the blanks (indicated by          ) in the incomplete Python code below .  Remember to use the right indentation and syntax .  No credit will be given if you change parts of the code other than the indicated ones .  The packages and parameters remain the same as in part (a) . The source code is attached .