Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Homework 2

Due March 15, 2023, 11:59pm

Assignment Instructions (please read carefully):

     Submit through Canvas only.  You need to upload two files  : an answer file and a R script file.       You may either type your answer in a Microsoft Word file, or scan your written answer into a

single pdf file.  No other file formats (such as jpeg, zip, and rar) are allowed.

     Remember to click Submit Assignment after uploading your files.

     Do not copy paste your R script into your answer file.  The answer file should only include your

derivation, argument, and results.  We will check whether your R script file can run smoothly.

Q1. Consider a stationary AR(2) model: Yt = aYt一2 + ut, where ut is i.i.d N(0, o2) and |a| < 1.  The information at period t is It = {Ys,s ≤ t}.

(1. 1)      What are the mean and variance of Yt?

(1.2)      Derive the MA(∞) representation for this AR(2) model.

(1.3)      Derive the partial autocorrelation function (PACF) for Yt.

(1.4)      Derive the autocorrelation function (ACF) for Yt.

(1.5)      Given the information It, provide your forecast for Yt+j for j = 1,2,3, and 100.  Derive the

corresponding forecast error and their standard deviations.

Q2. Consider an MA(2) model: Yt = ut + but一2, where ut is i.i.d N(0, o2).  The information at period t is It = {Ys, s ≤ t}.

(2. 1)      Derive the partial autocorrelation function (PACF(j)) for Yt for j = 1,2

(2.2)      Derive the autocorrelation function (ACF) for Yt.

(2.3)      Given the information It, provide your forecast for Yt+j for j = 1,2,3,and 100.  Derive the

corresponding forecast error and their standard deviations.

Q3. Perform ARMA analysis of the US housing start.  Use R to directly load the data code “HOUST” from the database “FRED” .  The source of the data is at: https://fred.stlouisfed.org/series/HOUST

(3. 1)      Plot the time series.  Plot the ACF and PACF for 24 lags.

(3.2)      Estimate an AR(12) model and perform serial correlation test of its residuals (Q-statistics) to see

whether they are white noise.

(3.3)      Find an adequate AR model that has a smaller AIC than the benchmark AR(12) model.  At the

same time, your model should produce white noise residuals.

Hint: If we need to estimate a restricted AR(13) model such as:

yt = c + p1yt1 + p2yt2 + p3yt一3 + p12yt一12 + p13yt一13 + ut.

In R use the script: ar13 <- arima(y, order = c(13,0,0), fixed = c(NA,NA,NA,rep(0,8),NA,NA,NA)) To obtain an adequate model, you might need to try AR(24) or AR(25) model. Try to remove  certain insignificant coefficients to reduce the AIC of the estimated models.

(3.4)      Use your chosen model from (3.3) to conduct out-of-sample forecast for the housing start for

the next 24 months.  Plot the fanchart with 60%, 80%, and 95% confidence intervals.  Also provide the forecast and the confidence intervals in a table.