(i) Calculate these two integrals explicitly.

(ii) Use the result of part (i) to find the Fourier sine series of both sinh y and cosh y over the interval [0, 1[ (you should use ideas from the “Calculus and Applications” course).

Part II: Consider the electric circuit shown in the Figure where the vertical edges have conductance c and the horizontal edges have conductance d.  Node

at nodes 1 to      . The nodes should be ordered as follows:           , . . . ,                    ,

0 , 2N+1 .

(a) Show that the conductance-weighted Laplacian matrix is

where Ij  denotes the j-by-j identity matrix and KN  is the N-by-N matrix fa- miliar from lectures. You should find the N-by-2 matrix P.

(b) Let【πj1j = 1, . . . , N} and【入j1j = 1, . . . , N} denote the orthonormal eigenvec- tors and corresponding eigenvalues of KN . By writing

find the coefficients【aj(入)1j = 1, . . . , N}.

(c) Show that the n-th element of can also be written as

for suitable choices of the parameters 入士(入).

(d) The uniqueness theorem for harmonic potentials discussed in lectures has an analogous version when the conductances are not all equal.  Use this fact to establish a discrete identity involving your answers to parts (b) and (c).

(e) Now pick 入 to be given by

and introduce the new variable