Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Homework 7 (due Mar. 12)

MATH 110 | Introduction to Number Theory | Winter 2023

Problem 1 (20 pts). Find all natural representatives x modulo 63 such that x2 ≡ 22    (mod 63).

Hint. Use Chinese Remainder theorem [Lecture Note, Lecture 19].

Problem 2 (20 pts). Find all roots of the polynomial x3 + x + 1 modulo 27. Write your answer in natural representatives modulo 27.

Hint. Use Hensel’s lifting [Lecture Note, Lecture 20].

Problem 3. In what follows, we fix a prime number p. For n an integer, recall that vp(n) is the exponent of p appearing in the prime factorization of n.  Namely, pvp(n)   | n, while pvp(n)+1 ∤ n. Extend this definition to nonzero fractions as follows:

n

m

(a)  (2 pts) Show that, if the two fractions  and  represent the same rational number, then vp() = vp().

Hence, we obtain a function vp : Q×  → Z.   (Recall that Q×  consists of nonzero rational numbers). The p-adic norm of a rational number x is defined to be

|x|p:=

For example,

, 24 ,        1           , 24 ,        1           , 24 ,

, 25 ,2 = 8 ,        , 25 ,3 = 3 ,        , 25 ,5 = 25.

(b)  (3 pts) Prove that |−x|p = |x|p, and |xy|p = |x|p|y|p .

(c)  (5 pts) Prove the ultrametric triangle inequality

|x + y|p≤ max{ |x|p , |y|p }.

Remark. Note that max{ |x|p , |y|p} ⩽ |x|p+ |y|p . Hence, the ultrametric triangle inequality

implies the usual triangle inequality.   The previous two says that  | · |p  can be viewed as analogy of the usual Euclidean norm of vectors, or the absolute value of real numbers.