Theorem

(A ∪ B) ⊆ B

尸                                                    使

P

If and only if

A ⊆ (A ∩ B) .

尸                                                    使

Q

IMPORTANT! For each step  in  your proof,  make  sure  it is  clear whether it is  an  assumption,  something you  are  about to prove,  or something that follows from a previous step  or definition.

Q3. [4 points] Given the following function

g : R+  × R → R × R  defined  g(x,y) = (3x + 2y,x2 )

determine whether or not it is injective , surjective? Fully justify your answers.

Q4.a [2 points] Assume A and B are subsets of some universal set 八 . Complete the following member-

ship table and briefly explain how we can conclude from it that the following equation is a set

identity:

(A − B) ∪ (B ∪ C) = (A ∪ C) ∩ B

Q4.b [2 points]using the Laws from the Table of Important Set Identities. You may use one or two laws at each step, and you must write the name of the law(s) used at each step.  Do not combine more than two laws in one step. Do not omit necessary parentheses.

(BONUS)  [+2 bonus points] Circle the best answer for each question. You do not need to show any justification for

this, but you will only earn the bonus points if all of your answers are correct.

i. For any sets A and B, is the following claim always true, or can it sometimes be false?

Claim:   If (A − B) ⊆ (B − A), then A ⊆ B .                             Circle:      always true       sometimes false

Claim:   If A,B are finite set and A ⊂ B, then |A| < |B|.        Circle:      always true       sometimes false

Claim:   A × (B ∪ C) = A × (B ∪ C).                                        Circle:      always true       sometimes false

ii. Let h : R − {1} = {x : x ∈ R, and x  1} → R be the function given by h(x) =  .

Is h injective?

Is h surjective?

Circle:

Circle:

yes

yes

no

no