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ECMT3150: Assignment 1 (Semester 1, 2023)

Due: 5pm, 21 March 2023 (Tuesday)

1.  [Total:  24 marks]

Note:  Please append your R codes (as a separate  .R file) for part (g) while you submit the assignment.

Let Xi  denote the log-price of a stock, Cherry Inc.  (code: CRRY), by the end of trading day i, and let AXi  := Xi _ Xi━1; thus AXi  is the log-return on trading day i (i.e., over period (i _ 1;i]).

Assume {Xi}≥〇 follows the AR(1) model:

                               (1)

where ui ~ iid normal with mean 0 and variance 72 .

Let {Fi}i≥〇  be the natural filtration generated by {ui}i≥〇 .

(a)  [2 marks] Express AXi  in terms of Xi━1 and ui .

(b)  [2 marks] Compute E(AXi|Fi━1).

(c)  [2 marks] Compute Var(AXi|Fi━1).

(d)  [2 marks] What is the condition on  o〇 and  o1  such that  {AXi}i≥1 is a martingale difference sequence?

A trading strategy is defined by {π i}i≥〇, where π i  is measurable with respect to Fi . Specifi- cally, π i  represents the number of CRRY shares a trader buys at the start of day i.               The log-return due to the trading strategy over period (0;T] is given by

(e)  [4 marks] Alice invested in a share of CRRY using a buy-and-hold strategy, with π i 三 1 for all i. Compute E(rT ) and Var(rT ) with o〇 = 0 and o1 = 1.

(f)  [4 marks] Bob suggested another strategy, with π i 三 AXi  for i > 0 and Compute E(rT ) and Var(rT ) with o〇 = 0 and o1 = 1.

(g)  [8 marks] Carol suggested yet another strategy, with πi 三 1{AXi  > 0} and π〇 = 1.       We want to evaluate the risk-return tradeo§ of the proposed strategies using computer simulation.

The passing score is 50 or above.

(c)  [3 marks] Compute the mean score E(S).

(d)  [3 marks] Given that Mimi was angry, what is the mean score you would get? (e)  [3 marks] Compute the probability of failing the test.

(f)  [3 marks] Given that you failed the test, what is the probability that Mimi was angry?

3.  [Total:  20 marks]

Note: Please append your R codes (as a separate .R file) while you submit the assignment.

Carol, an amateur economist, proposes the following time series model for unemployment

rate:

                                 (2)

where "t  ~ iid N(0; 0:022) (normal distribution with mean 0 and variance 0:022).  The time period is measured in number of quarters.

(a)  [3 marks] Show that the time series {yt} generated by model (1) is stationary.

(b)  [3 marks] There is a stochastic cycle in the time series generated by model (1). Find its periodity in number of quarters.

(c)  [4 marks] Compute the ACF for the first 3 lags, i.e., o(1), o(2) and o(3).

(d)  [2 marks] Write an R program to simulate a sample path of {yt} over 30 years. Set the initial values y〇 and y━1 to be y〇 = 0:1 and y━1 = 0:12.  While simulating the random numbers for "t, set the random seed to be your last 3 digits of your student ID.

(e)  [2 marks] Plot the sample ACF and record its value for the Örst 3 lags (the values can be retrieved from the acf command output stored as a list). Why are they di§erent from your answers in part (c)?

(f)  [3 marks] Using the simulated sample path in part (d), estimate an AR(2) model using the R command arima. Write down the estimated model with the parameter estimates and their standard error. Also record the estimated variance of the innovations.            [Important note: the ìinterceptîestimate in the arima output is in fact the unconditional mean;  see Rob Hyndmanís page for details: https://robjhyndman.com/hyndsight/ arimaconstants/.]

(g)  [3 marks] Using the simulated sample path in part (d) and the R package forecast, plot the point forecast and the conÖdence interval for each period over the next 5 years. Describe the short-run and long-run behaviour of the point forecast and the confidence interval.