1. The share price obeys the stochastic differential equation

dS = µSdt + σSdW.

Suppose that the expected return is 11% per annum and the volatility is 24% per annum.  Initially the share price is .60. By using an approximation dW ≈ (∆t)1/2X , where X ~ N (0, 1), estimate:

(a) the expected share price in 10 days’ time;

(b) the variance of the share price in 10 days’ time.

Explain briefly why your estimates would be less accurate for longer time intervals. [4 marks]

2. By using Itô’s Lemma

df = /  + µS + σ S22 、dt + σS dW,

find the stochastic differential equation (SDE) satisfied by the function

f (S, t) = t− 1 Sα ,

where α is an arbitrary constant. Write your solution in terms of the original function f . [4 marks]

3. Suppose that the share price in six months’ time will be .59 with probability 0.3, or .71 with probability 0.5, or .80 with probability 0.2.  Calculate the expected profit (or loss) at expiry for the holder of a European call option expiring in six months’ time with exercise price .70, if the call option was purchased for .2, and purchases can be financed by a bank loan at the interest rate of 6% per annum. Give your answer to three decimal places. Would it be risky to buy the call option? [5 marks]

4. Draw the payoff diagram for the following portfolio: long one share, short two puts with exercise price Ep , and short two calls with exercise price Ec , where Ep  = 2Ec . [6 marks]

5. A European put option has exercise price .95 and expiry date in six months’ time. The risk-free interest rate is 3% per annum.

(a) Find the lower bound for the current price of this put option, if the current share price is .30.

(b)  Suppose that this put option is currently available to buy or sell for .60. Explain whether or not there is an arbitrage opportunity. If there is, calculate the minimum profit.         [6 marks]