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Calculus 1301B Winter 2023

Written Assignment 2

1. Show that, if P(x) and Q(x) are polynomials of positive degrees, then the sequence an  =  rnI I converges to 1.

[Hint: First show that the n’th root of the absolute value of any non-zero polynomial in n  converges to 1, by applying the Squeeze Theorem and the fact that limn!1  n = 1 = limn!1  c, for any constant c > 0.]

2. Let (an ) be a sequence with positive terms, such that nlim!1   = 2023. Show that nlim!1an  = 1. [Hints:

– Recall that  lim  cn  = L, when for every e > 0 there exists an integer N such that L−e < cn  < L+e

for all n ≥ N . Use this definition to show that there exists an integer N such that an+1  ≥ an  for all n ≥ N .

– Suppose that (an ) is bounded above. Can you then conclude something about its limit?

– Apply the Algebraic Limit Theorem to  .]

3. Find the limits of the following sequences. Justify your answers.

r                

{z

n times

ln(n + 1) ln n

lnn · ln(n + 1)  .

4. Determine whether the following series are absolutely convergent, conditionally convergent, or diver- gent. Justify your answers.

(a) (1)n 

(b) (1)n 

(c) (1)n 

(d) (1)n  .

5. Determine for what values of the variable x is the following series convergent   n . Justify your answer.

6. Find the interval of convergence of the power series (1 +  + ··· + ) · xn . Justify your answer.   [Hint:  Suppose rst that the variable x satisfies  |x| < 1, and consider the ratio  |an+1|/|an |, where an  = (1 + 1/2 + ··· + 1/n) · xn .  Try to nd an upper bound for |an+1|/|an | of the form bn · |x|, with

|an+1 |

n!1                                                                                                                           n!1    |an |

does not converge to zero if |x| ≥ 1.]